两个量子位纠缠是什么意思？

我已经对qubit及其导致其声名狼藉的因素进行了某种在线研究，即允许qubit同时容纳1和0，另一个是qubit可以某种方式纠缠在一起，以便无论它们走多远，它们中都可以包含相关数据。它们是（甚至在星系的相对两侧）。

在Wikipedia上阅读有关此内容的文章时，我已经看到一些方程式，但我仍然很难理解。这是Wikipedia的链接。

问题：

1. 他们如何首先纠缠在一起？

2. 他们如何关联数据？

举个简单的例子假设你有明确的状态两个量子比特和| 0 ⟩。系统的组合状态为| 0 ⟩ ＆CircleTimes; | 0 ⟩或| 00 ⟩速记。$|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

然后，如果我们将以下运算符应用于qubit（图像是从超密集编码 wiki页面上剪切的），则结果状态为纠缠状态，即钟形状态之一。

第一图像中，我们有作用于该第一量子位，其在较长的形式是阿达玛栅极使得其上该第二量子位的恒等算子。$H\otimes I$

哈达玛德矩阵看起来像 ，其中所述基础是有序的{| 0⟩，| 1⟩}。

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

因此，在hadamard操作员执行操作后，状态现在为

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

电路的下一部分是受控非门，仅当第一量子位为才对第二量子位起作用。$1$

您可以将表示为| 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ 我+ | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X，其中| 0 ⟩ ⟨ 0 | 是对位0或矩阵形式（1 0 0 0）的投影运算符。同样| 1 ⟩ ⟨ 1 | 是（0 0 0 1）。$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

的运算符是表示为位翻转操作者（0 1 1 0）。$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

总体而言，矩阵为（1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

当我们应用我们可以通过将状态写为向量来使用矩阵乘法（$CNOT$，或者我们可以只使用张量积形式。$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

$|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

$0$$0$

例如，与此状态进行比较：

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

$0$$1$

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更新1：QM / QC / Dirac表示法迷你指南

$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

$|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

$\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

$3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

和

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

同样

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$X_1X_2:=X\otimes X$

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$^*$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$CNOT$

$2^n$$n$$8\times 8$$4$$16\times 16$

$^*$$|0\rangle$$\langle 0|$$\langle 0|1\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$$X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$

$P_0=|0\rangle\langle0|$$P^2=P$$P^\dagger=P$

尽管链接的Wikipedia文章试图将纠缠作为与经典物理学的区别特征，但我认为人们可以通过研究经典的东西开始对纠缠有所了解，我们的直觉效果更好。

想象一下，您有一个随机数生成器，每次生成一个0、1、2或3。通常，您会得出这些均等的概率，但是我们可以为想要的每个结果分配任何概率。例如，让我们分别以1/2的概率给1和2，而从不给0或3。因此，每次随机数生成器选择某项时，它给出1或2，而您事先不知道会发生什么成为。现在，让我们将这些数字写成二进制，1表示为01，2表示为10。然后，我们将每一位给不同的人，比如Alice和Bob。现在，当随机数生成器选择一个值（01或10）时，Alice拥有一部分，而Bob拥有另一部分。因此，爱丽丝可以看看自己的位，无论她得到什么价值，她都知道鲍勃具有相反的价值。我们说这些位是完全反相关的。

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ $\left|\psi\right\rangle$

区别来自于这样的事实，即在所有可能的测量基础上都适用，并且在这种情况下，测量结果必须是不可预测的，并且这与经典情况有所不同（您可能想了解贝尔测试） ，尤其是CHSH测试）。在我开头描述的经典随机数示例中，一旦随机数生成器选择了某些内容，就没有理由无法复制它。其他人将能够知道Alice和Bob都会得到什么答案。但是，在量子版本中，爱丽丝和鲍勃得到的答案是不存在的，因此没人能知道。如果有人确实知道它们，那么这两个答案就不会完全反相关。这是量子密钥分配的基础 因为它基本上描述了能够检测到窃听者的存在。

可能有助于尝试理解纠缠的更进一步的方法：从数学上讲，它与叠加没有什么不同，只是在某个点上，您将叠加的部分分开很远的距离，并且在某种意义上很难做到这一点意味着进行分离可以为您提供可以做有趣的事情的资源。的确，纠缠是所谓的“分布式叠加”的资源。

纠缠是一种量子物理现象，在实际实验中得到证明，并在量子力学中进行了数学建模。我们可以（从哲学上）提出一些创造性的推测，但是到最后，我们只需要接受它并相信数学即可。

从统计的角度来看，我们可以将其视为两个随机变量（量子位）之间的完全相关性（1或-1）。我们可能事先不知道这些变量的结果，但是一旦我们测量了其中一个变量，由于相关性，另一个变量将是可见的。我最近写了一篇有关量子计算模拟器如何处理量子纠缠的文章，但您可能也会发现有帮助。