“代码空间”，“代码字”和“稳定器代码”之间有什么区别？

我继续阅读以下三个阶段（例如Nielsen和Chuang，2010年；第456和465页）。“代码空间”，“代码字”和“稳定器代码”-但是很难找到它们的定义，更重要的是它们之间的区别。

因此，我的问题是；这三个术语是如何定义的以及它们之间的关系如何？

代码空间和代码字

通常用代码空间来标识量子纠错代码（Nielsen＆Chuang似乎确实可以这样做）。在代码空间 例如An的Ñ -qubit量子纠错码是一个矢量子空间ç ⊆ ħ ⊗ Ñ 2。$\mathcal C$$n$$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

一个代码字（从经典的纠错理论中借用的术语）是一个状态一段代码空间：即，它是编码一些数据的状态。$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

量子纠错码

在实践中，我们要求一些非平凡的性质来保存量子纠错码，例如：

• $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
• 至少有两个算子，其中包括算子，存在一个，例如-如果是上的正交投影仪，则我们有 对于某些标量（称为Knill–Laflamme条件）。Ë 1 = 1 P c ^ P Ë Ĵ Ê ķ P = α Ĵ ，ķ$\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$$E_1 = \mathbb 1$$P$$\mathcal C$ $$P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$$ $\alpha_{j,k}$

这就确定了一些错误运算符，原则上您可以根据保护状态，因为如果Knill–Laflamme条件包含一组运算符和一些运算符作用于您的状态，原则上可以检测到发生的事实（与其他运算符相对）并撤销错误，而不会破坏存储在原始状态下的数据。é è ∈ Ë Ë Ë | ψ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\mathcal E$$E \in \mathcal E$$E$$\mathcal E$$\lvert \psi \rangle$

甲量子纠错码是码空间，连同一组误差运算符其满足Knill-Laflamme编写条件-即，量子纠错码必须指定哪些错误是指，以防止。$\mathcal C$$\mathcal E$

为什么通常用其码空间来识别量子纠错码

您不能仅从代码空间 math确定满足Knill–Laflamme条件的运算符的唯一集 mathcalE 。但是，最常见的考虑是可以通过代码同时纠正哪些低权重运算符（仅作用于少量qubit的运算符），并且在某种程度上可以仅从代码空间中得出。代码空间的代码距离是您要操作的最小位数，以将中的一个“代码字”转换为一个不同的代码字。如果我们随后将代码空间描述为C C | ψ ⟩ ＆Element; C ^ | ψ ' ⟩ ＆Element; C ^$\mathcal E$$\mathcal C$$\mathcal C$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$Ç ⊆ ħ ⊗ Ñ 2 2 ķ ë ⌊ （d - 1 ）/ 2 $[\![n,k,d]\!]$代码，然后说维度为，而我们考虑的set为权重最大为的所有Pauli运算符的集合 。$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$$2^k$$\mathcal E$$\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

在某些情况下，将代码描述为代码就足够了。例如，5个量子比特代码是代码，并且有可能表明五个量子比特无法以一种可以纠正任何其他错误的方式对单个量子比特进行编码。除了所有的单量子位错误。但是，Steane代码却并非如此，它可以防止出现任何单量子位Pauli错误以及某些（但不是全部）两个量子位Pauli错误。您应该选择哪两个量子位的Pauli错误$[\![n,k,d]\!]$$[\![5,1,3]\!]$X $[\![7,1,3]\!]$防范取决于您的错误模型；如果您的噪声是对称且独立分布的，那么选择什么都无所谓（这样您就可以对任何一个误差和一个误差进行常规选择）。但是，这是一种选择，它将指导您如何保护数据免受噪音干扰。$X$$Z$

稳定器代码

稳定器代码是由一组稳定器生成器确定的量子纠错码，稳定器生成器是相互的Pauli运算符，并通过其+ 1-本征空间的交点定义代码空间 mathcalC。（考虑由形成的稳定基团通常是有用的。）Ç ģ P ∈ $\mathscr S$$\mathcal C$ $\mathcal G$$P \in \mathscr S$

人们在实践中考虑的几乎所有量子纠错码都是稳定器码。这就是为什么您可能无法区分这两个术语的原因之一。但是，我们不需要量子纠错码是稳定器码-就像从原理上讲，我们不需要经典纠错码是线性码一样。稳定器代码恰好是描述量子纠错码的一种非常成功的方式，就像线性纠错码是描述经典纠错码的一种非常成功的方式一样。实际上，稳定器代码可以看作是经典线性代码理论对量子误差校正的自然概括。

由于人们通常只对距离小于代码距离一半的轻型操作员感兴趣，因此，人们通常都说稳定器集是关于稳定器校正代码的。但是，要指定代码可以保护的错误集，还必须指定Pauli乘积运算符与子集之间的关系，这样 σ Ë 小号⊆ $\mathcal E$$\sigma$$E$$S \subseteq \mathscr S$

• P ∈ 小号 P ∈ 小号σ （ê ，小号$E$当且仅当对于为，与反换向；$P \in \mathscr S$$P \in S$$\sigma(E,S)$
• 如果都满足和，则。 σ （ê ，小号）σ （ê '，小号）È Ë ' ∈ ģ = ⟨ 小号$E, E'$$\sigma(E,S)$$\sigma(E',S)$$E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

这定义了一组可以保护代码的错误。子集称为错误综合症，在这里我称之为的关系（您通常没有给它明确的名称）将综合症与一个或多个导致该综合症的错误相关联，其对代码的影响是等效的。小号⊆ 小号

“综合征”表示实际上可以通过“相干测量”获得的有关错误的信息，即通过将算符作为可观察值进行测量（通常通过特征值估计来模拟的过程）。如果对于中的任何代码字，状态都在所有特征的本征空间中，则错误 '导致'校正子运算符，以及中所有其他运算符的 1-特征。（此属性与与所有元素的反换向直接相关 Ë 小号⊆ $P \in \mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$E \lvert \psi \rangle$$-1$$P \in S$$+1$$\mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$，以及仅那些元素。）

代码字（用于量子代码）是通常在逻辑基础上与状态关联的量子状态。因此，您将具有一些状态，该状态与要编码的量子位的0状态相对应（您不必使用量子位，但可能是），并且还有另一个状态对应于要编码的qubit的1状态。$|\psi_0\rangle$$|\psi_1\rangle$

代码空间是由代码字跨越的空间，即对于所有可能的和（归一化），整个空间。$\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$$\alpha$$\beta$

稳定器代码是一种可能的形式主义，用于告诉您如何计算代码字，从而确定代码空间。对于[[n，k，d]]代码，将为您提供nk个稳定子（），它们相互交换并作用于n个量子位。代码空间中的任何状态都满足。您将进一步拥有用于运算符和，它们都与稳定器通勤，但成对反通勤，用于匹配下标。这些定义了代码的逻辑Pauli运算符，因此代码字是满足以下条件的状态：S 2 = I | ψ ⟩ 小号| ψ ⟩ = | ψ ⟩ ž 米X 米米= 1 ，... ķ 小号{ Ž 米，X 米 } = 0 ž 米| ψ ⟩ = ± | ψ $S$$S^2=\mathbb{I}$$|\psi\rangle$$S|\psi\rangle=|\psi\rangle$$Z_m$$X_m$$m=1,\ldots k$$S$$\{Z_m,X_m\}=0$$Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$。

在量子纠错码中，您以许多物理量子位的状态存储许多逻辑量子位。$k$$n$

码字是与特定逻辑状态相关联的物理量子位的状态。因此，例如，您为逻辑量子位之一存储的状态是一个代码字。$|0\rangle$

代码空间是由所有可能的代码字跨越的希尔伯特空间。对于稳定器代码，此术语与稳定器空间同义。此代码空间内的任何状态都是一个代码字

稳定器代码是由稳定器形式主义描述的量子误差校正代码。稳定器空间定义为相互换向的相互本征空间和Pauli算子的独立张量积。n − $+1$$n-k$