如果两个单独纠缠的量子比特通过C-NOT门，会发生什么？

假设我将状态转换如下：

我从状态。 $\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
我纠缠了第一和第二个量子位（带有H门和C-NOT）。
然后，我以相同的方式纠缠第三和第四量子位。

如果我尝试将H gate和C-NOT应用于第二个和第三个qubit后缀，整个系统是否会纠缠在一起？在这种情况下，第一个和第四个量子位会发生什么？

（从Physics.SE交叉发布）

quantum-gate entanglement

— Midhun XDA
source

交叉发布自Physics SE。

— Emilio Pisanty

我已将您的帖子重点放在您提出的第一个问题上，这是两个中比较有趣的一个。您应该避免每个帖子都问一个以上的问题，除非它们之间有密切的联系。

— Niel de Beaudrap，

如果问题中包含一个明确的量子电路，以清晰地可视化所应用的门，那也将很好。

— agaitaarino '18

感谢您的提问！正如其他人所说，每个帖子最好有一个问题。如果您将第二个问题重新发布为单独的问题，我相信您也将获得详细的答案。尽管DaftWullie的回答也做得很好。

— James Wootton

感谢您的快速回复。我是这个量子计算领域的新手。我最近从youtube上观看了“确定的量子计算” [link]（youtu.be/X2q1PuI2RFI?list=PL1826E60FD05B44E4）播放列表。现在，我正在尝试创建一个编程库来模拟QC（我知道已经存在）。有人可以联系我一些资料，以便我实际上可以学习所有技术知识吗？就像，直到答案我才知道“ρ”的目的。（我需要提出一个新问题吗？）

— Midhun XDA

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$

（ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） / 2

$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$

（ | 0 ⟩ （ | 0 ⟩ + | 1个 ⟩ ） + | 1个 ⟩ （ | 0 ⟩ - | 1个 ⟩ ） ） \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） / （ 2 \sqrt{2} ）

$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$

（ | 0 ⟩ \otimes （ | 0 ⟩ \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） + | 1个 ⟩ \otimes （ | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ） ） + | 1个 ⟩ \otimes （ | 0 ⟩ \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） - | 1个 ⟩ \otimes （ | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ） ） ） / （ 2 \sqrt{2} ）

$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$ 让我们稍微重新排列一下，因为请注意，我们需要整个系统的完整状态。由于纠缠，您无法真正分别谈论量子位1和4的状态。

| Ψ ⟩ = （ （ | 0 ⟩ - | 1个 ⟩ ） | 1个 ⟩ （ | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ） + （ | 0 ⟩ + | 1个 ⟩ ） | 0 ⟩ （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） ） / （ 2 \sqrt{2} ）

$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$

“它是否仍然纠缠”的问题直接是“是”，但这实际上是一个更为复杂的问题的琐碎问题。从某种意义上来说，它不是产品状态。 $\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

观察该状态纠缠的一种简单方法是选择一个二分法，即将量子位拆分为两方。例如，让我们将qubit 1作为一个方（A），将所有其他的作为方B。如果我们计算出方A的简化状态，则乘积状态（无纠缠）将必须给出一个纯状态。同时，如果缩小状态不是纯的，即等级大于1，则肯定会纠缠状态。例如，在这种情况下，排名为2。实际上，它没有排名不管您在第2位和第3位之间做过什么，如

ρ_{一个} = Tr （ | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | ） = \frac{一世}{2} ，

$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$

ρ_{A}

$\rho_A$ 独立于那个unit；它无法消除由量子位1创建的纠缠（可能将其散布在量子位2和3之间）。您必须查看不同的分区，以查看哪些量子位已与之纠缠这一事实已经开始表明某些复杂性。对于纯态，只需将1量子位的每个二等分与其余部分一起看即可。如果这些降低密度的矩阵中的每一个都是1级，则整个状态是可分离的。

与您的问题相关，您可能希望查找“纠缠一夫一妻制”的问题-纠缠的qubit 1与qubit 2纠缠得越多，纠缠的qubit 1与qubit 3纠缠得越少，例如，可以量化为多种不同的方式。同样，您可以提出有关“有什么样的纠缠？”的问题。一种方法是查看哪些纠缠类型可以转换为不同类型（通常称为“ SLOCC等效类”）。例如，人们使用3个量子位来区分W状态缠结（看起来像和GHZ缠结（看起来像，以及不同对量子位之间的二分纠缠，而另一对则处于可分离状态。 $\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$ $\ket{000}+\ket{111}$

— 达夫·沃利
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