d = 4的Qudit系统与两比特系统之间有什么区别？

我知道qudit是一个量子状态系统。如果d = 4，这与同时具有4个量子态的两量子位系统完全相同吗？希尔伯特空间是一样的，对吗？有理论上或实践上的区别吗？$d$$d=4$$4$

对于qubit，我们通常将所有运算符都基于Pauli矩阵。我们的基本门集包括Pauli矩阵本身，在Pauli矩阵之间映射的Clifford门（例如和S），受控操作（例如CNOT），该操作根据一个qubit的Pauli本征态来实现Pauli，等等。$H$$S$

对于任何更大的维量子系统，我们必须找到将发挥相同作用的基本算子集。$d$

一种方法是推广保利矩阵。我们选择一个顺序为的组，并基于该组定义运算符。这是我的入门文章，尽管它实际上更侧重于归纳稳定器代码。$d$

我们也可以向旋转运算符寻求灵感。泡利矩阵描述了一种旋系统。因此，对于高维系统，我们可以考虑运算符以获得更高的自旋。但是，它们没有同类的好属性。因此，这似乎不是一种流行的方法。$1/2$

无论哪种方式，希尔伯特空间都是相同的，基于它们的通用QC是相同的。唯一的区别是我们的基本门设置。因此，给定任务所需的门数可能在常数和系数方面有所不同。数学可能比另一种更好。但是复杂度是相同的。

是的，希尔伯特空间是相同的，但是您必须选择同构。但是，不同的设置将意味着在一个设置中易于实现的某些单元在另一个设置中将很难实现。例如，如图2个量子位门像 σ Ž ⊗ 1将是容易的。但是，如果通过同构 ϕ将它写成4乘4的ary，则可能不那么容易实现。您应该说Hilbert空间和希望编写程序的简单操作。$\phi : \; \; (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} \simeq \mathbb{C}^4$$\sigma_z \otimes 1$$\phi$

两种系统之间的根本区别是，两量子位系统实际上可以处于纠缠状态。另一方面，单个d = 4维系统不具有纠缠，因为纠缠始终是针对一个以上的方定义的。因此，出于利用纠缠作为资源的量子协议的目的，两个量子位系统和单个4维量子系统非常不同。

如果您考虑实验或实施，也会有所不同。要制作物理量子位，我需要使用两级量子系统。比起需要更复杂的量子系统（例如，对于ad = 4奎迪来说，具有四个能级），奎迪就更加复杂。使用更复杂的系统的工程论据是，与您所需要的四层系统相比，您需要的更少。

“ 一对量子位 ”和单个“ 四维量子位 ” 之间的唯一区别是，当您说有“ 两个量子位 ”时，您在隐式地假设可以执行的操作类型。

特别是，只有将两个量子比特视为两个不同的系统，或者换句话说，可以对它们进行局部处理，才有意义。类似地，可以假定能够对两个量子位执行的操作的类型与对量子位进行的操作的类型不同。

从实践的角度来看，不同之处在于，在谈论量子位集而不是（几组）量子集时，人们倾向于将不同的操作视为“容易获得”。