量子算法或复杂性是否带来了导致P vs NP问题取得进展的结果？

从表面上看，量子算法与经典计算（尤其是P vs NP）没有什么关系：用量子计算机解决NP问题不会告诉我们这些经典复杂度类之间的关系¹。

另一方面，据我所知，本文中介绍的经典复杂度类PP作为PostBQP类的“替代描述” 被 “量子复杂性” 视为对 “经典复杂性” 的重要结果。。

实际上，该论文的作者Scott Aaronson在摘要的末尾写道：

这说明了量子计算可以为经典计算的主要结果提供新的和更简单的证明。

因此，我的问题是：是否有量子复杂性领域的结果“简化”了P与NP问题，类似于PP的量子描述？如果没有这样的结果，尽管PP取得了“成功”，那么有充分的理由不期望这些结果吗？

_{1：以该问题的答案为例：由于通用量子计算机的发展，P与NP问题会变得无关紧要吗？}

我认为没有明确的理由要回答“是”或“否”。但是，我可以提供一个理由，为什么PP比NP更可能接受这样的表征，并给出一些直觉，以解释为什么在修改量子计算模型方面NP永远不可能具有简单的表征。

计算复杂度

NP和PP类都可以根据非确定性图灵机的接受分支数来表征，我们可以根据使用随机化计算的可能结果更真实地描述它们均匀随机位。然后，我们可以将这两个类描述为：

• 大号  ∈  NP如果存在一个多项式时间算法随机它输出一个单个位α  ∈{0,1}，使得X  ∈  大号当且仅当镨 [  α  = 1 | x  ]非零（尽管此概率可能很小），而不是零。

• 大号  ∈  PP如果存在一个多项式时间算法随机它输出一个单个位α  ∈{0,1}，使得X  ∈  大号当且仅当镨 [  α  = 1 | x  ]大于0.5（尽管可能仅是最小的量），而不是等于或小于0.5（例如  ，很小的量）。

了解为什么无法使用此概率描述实际解决这些类别的一种方法是，可能需要成倍的指数重复才能确定Pr [  α  = 1 | | |  的概率估计。x  ]是因为所涉及的概率差异很小。

间隙复杂度和量子复杂度

让我们将上述计算中的结果“ 0”和“ 1”描述为“拒绝”和“接受”；然后我们将给出拒绝/接受结果的随机分支称为拒绝或接受分支。由于不接受的随机计算的每个分支都因此被拒绝，因此PP也可以根据接受和拒绝计算路径的数量之差来定义PP，我们可以称其为接受差距：具体来说，是否接受间隙为正，或小于或等于零。通过更多的工作，我们可以获得PP的等效特征就接受间隙是大于某个阈值还是小于某个阈值而言，该阈值可以为零或输入x的任何其他有效计算函数。

反过来，这可以用于根据量子计算来表征PP中的语言。从的描述PP在具有接受概率（可能略）随机化计算大于0.5，或换算为0.5以下，在所有的问题PP承认其在接受概率同样的区分一个多项式时间算法量子; 并且通过将量子计算建模为计算路径上的总和，并使用负权重路径的拒绝分支和正权重路径的分支来模拟这些路径，我们还可以证明这种区分（统计上较弱）的量子算法描述了PP中的一个问题。

我们能否为NP做同样的事情并不明显。没有自然的方法可以用接受差距来描述NP，而且很明显地猜测您可能会尝试如何将其拟合到量子计算模型中-通过询问测量结果“ 1”的概率是零还是非零，零-相反，给您一个名为coC ₌ P的类，它不等于NP，并且可以粗略地描述为与PP一样强大，而不是接近NP的功率。

当然，总有一天有人可能会以接受差距的方式找到NP的特征，或者可能会找到将量子计算与计算复杂性联系起来的新方法，但是我不确定有人会对此产生任何令人信服的想法。

摘要

通过量子计算来了解P与NP问题本身的前景并不乐观-尽管并非不可能。