Grover的算法如何用于估计一组数字的均值和中位数？

在Grover算法的Wikipedia页面上，提到：

“ Grover的算法还可以用于估计一组数字的平均值和中位数”

到目前为止，我只知道如何将其用于搜索数据库。但不确定如何实施该技术来估计一组数字的均值和中位数。而且，据我所知，该页面上没有引用该技术的文章。

估计均值的想法大致如下：

• 对于任何以实数形式提供输出的，定义一个重缩放后的，其输出范围为0到1。我们旨在估算的平均值。$f(x)$$F(x)$$F(x)$

• 定义一个单一的其运算为重要的是要注意，此单元很容易实现。您从第一个寄存器的Hadamard变换开始，在辅助寄存器上执行的计算，使用它来实现第二个寄存器的受控旋转，然后取消计算辅助寄存器。$U_a$

  $$U_a:|0\rangle|0\rangle\mapsto\frac{1}{2^{n/2}}\sum_x|x\rangle(\sqrt{1-F(x)}|0\rangle+\sqrt{F(x)}|1\rangle).$$ $f(x)$

• 定义酉。$G=U_a (\mathbb{I}-2|0\rangle\langle 0|\otimes |0\rangle\langle 0|)U_a^\dagger \mathbb{I}\otimes Z$

• 从状态，就像使用Grover迭代器来估计搜索问题的解决方案数量一样，使用$U_a|0\rangle|0\rangle$$G$

该算法的主要散装是振幅放大，如所描述这里。主要思想是可以定义两个状态 而这个定义演变的一个子空间。初始状态为。如果仅可以估计项的幅度，则显然包含有关平均值的信息。您可以重复准备该状态并测量获得的可能性

$$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{\sum_x F(x)}}\sum_x\sqrt{F(x)}|x\rangle|1\rangle \qquad |\psi^\perp\rangle=\frac{1}{\sqrt{\sum_x 1-F(x)}}\sum_x\sqrt{1-F(x)}|x\rangle|0\rangle,$$ $U_a|0\rangle|0\rangle=(\sqrt{\sum_x F(x)}|\psi\rangle+\sqrt{\sum_x 1-F(x)}|\psi^\perp\rangle)2^{-n/2}$$|\psi\rangle$$F(x)$$|1\rangle$在第二个寄存器上，但是Grover的搜索使您得到了二次改进。如果与通常设置Grover的方式进行比较，则可以“标记”（在本例中通过应用）的的幅度将为其中是解的数量。$|\psi\rangle$$\mathbb{I}\otimes Z$$\sqrt{\frac{m}{2^n}}$$m$

顺便说一下，与“一个干净的量子比特的功率”（也称为DQC1）相比，这很有趣。在那里，如果将应用于，得到1个答案的概率与非加速版本相同，并为您提供了均值的估算值。$U_a$$\frac{\mathbb{I}}{2^n}\otimes|0\rangle\langle 0|$

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对于中位数，显然可以将其定义为最小化 的值 这里有两个步骤。首先是要意识到我们试图最小化的功能基本上只是一个平均值。然后第二步是使用最小化算法，该算法也可以通过Grover搜索来加速。这里的想法是使用Grover搜索，并标记所有函数评估给出的值小于某个阈值。您可以估计给出的输入的数量，然后重复一个不同的直到您对最小值进行了足够的定位。$z$

$$\sum_x|f(x)-f(z)|.$$ $T$$x$$f(x)\leq T$$T$

当然，我跳过了精确运行时间，错误估计等的一些详细信息。