分类量子力学有什么用？

我最近注意到牛津大学的计算机科学系已经开始提供有关分类量子力学的研究生课程。显然，他们说这与量子基础和量子信息的研究有关，并且它使用了类别理论的范例。

问题：

1. 它对量子信息的研究究竟有何帮助？

2. 除了我们一般的量子力学公式所做的以外，该公式是否真的产生了任何新的结果或预测？如果是这样，那是什么？

这个答案是某人的意见，该人本质上是“ CQM”（分类量子力学）的局外人，但又是宽容的局外人。应该这样解释。

CQM的动机

分类量子力学的动机不是计算本身，而是逻辑。而不是量子动力学本身，而是物理学的基础。它的症状可以从它所描述的成就和参考点中看出，例如：

• 其关于“完整性”的结果应以与哥德尔完整性定理 [sic] 相同的方式进行解释：一组公理可以完美地捕获一个模型，在这种情况下，这是对一组表示的量子比特进行转换的模型根据Z和X本征基数表示的自由度的变换。

• 偶尔对“ Rel ”之类的东西（即关系的类别，从计算的角度来看，它更与非确定性的图灵机相关联，而不是与量子计算机相关联）进行比较，说明了他们了解量子信息理论的事实。作为更大范围的计算理论的一部分，这些理论之间的区别可能导致一种强有力的自上而下的直觉，即什么将量子理论与其他可能的动态信息理论区分开。

因此，CQM不仅具有物理学基础和计算机科学的Theory B分支的传统。因此，如果它似乎并没有开发出很多“应用程序”，那么您应该不会感到惊讶，因为开发应用程序并不是其主要动机。（当然，到目前为止，该领域中只有很少一部分人真正接触过它。）

为什么CQM似乎有点晦涩

$\mathbb C$

$\mathbb C$$\mathbb C$$\mathbb C$）从概率论。通过通常的复杂线性代数方法当然可以得到这种直觉，但是CQM的支持者会认为通常的方法不太可能是最有效的方法。

CQM尝试以数学上严格的方式将直观含义放在首位。这使他们不得不谈论诸如“匕首可交换的Frobenius代数”之类的晦涩事物。当然，这种术语对本领域的几乎所有其他人几乎没有意义-但这与量子信息理论家与其他计算机科学家的看法并没有太大不同。

这只是局外人潜在困惑的起点，因为追求CQM的人实际上是具有自上而下动机的数学家/逻辑学家，CQM中没有单一的研究线索，工作之间也没有明确的界限CQM和更高类别理论的工作。这类似于在以量子电路表示的计算复杂性，量子通信复杂性，查询复杂性以及这些主题的经典版本以及傅立叶分析和其他相关数学工具之间缺乏清晰的界限。如果没有清晰的参考框架，有时可能会混淆CQM的开始和结束位置，但是从原理上讲，它与量子信息论中的任何其他主题一样，都明确界定了范围的概念。

如果您想知道为什么人们可能想研究CQM而不是量子信息理论中的一个更为主流的问题，我们首先应该承认，量子信息理论中还有其他研究领域并不完全针对对任何其他人的有意义的影响。如果我们很高兴让人们对诸如涉及物理现象的量子计算方法进行研究但尚未在实验室中进行过研究[ arXiv：1701.05052 ]或对d > 2的封闭d维流形上的误差校正的方法进行研究， [ arXiv：1503.02065]，我们同样应该乐于接受其他与主流有所不同的调查方式。每种情况下的理由都是相同的：虽然理论弧线很长，但却趋向于应用，并且纯粹出于理论原因进行研究的事物有一种产生实际成果的方式。

CQM的使用

关于这一点：关注基础的目的的一种观点是获得必要的洞察力，以更轻松地解决问题。CQM是否提供这种见解？

我认为，直到最近，CQM的拥护者们才认真考虑过这样一个问题，即它所提供的见解是否能够使人们在量子信息理论的主流学科中获得新的成果。再次是因为主要动机是基础，但是最近的工作已经开始在更广泛的领域以收益为主题发展。

我至少可以指出两个结果，它们代表了CQM社区开发出的结果的方式，我认为这些结果与量子信息界的利益广泛相关，并且这些结果是全新的：

• 构造unit误差库和Hadamard矩阵的新技术（例如[ arXiv：1504.02715，arXiv：1609.07775 ]。这些对量子信息界似乎引起了足够的兴趣，这些结果分别在2016年QIP和2017年QIP会议上进行了演讲。
• 一个经过深思熟虑的清晰的量子图定义，该方法从[ arXiv：1002.2514 ]中恢复了非交换图的定义，从而使与“经典”图的关系变得清晰，并允许它们连接至更高的代数，并获得（推论5.6）关于图对的渐近密度的结果，在伪球面上的博弈对具有图论的优势。

正如人们应该期望具有基本动机的抽象数学技术一样，与量子信息论相邻的计算机科学领域也有收获：

• 量子计算[ arXiv：1702.00767 ] 启发了一些用于解决有关Holant的复杂度计算问题的最新技术，更具体地说，是受CQM特定研究线（涉及GHZ状态和W状态的区别）的启发。

最后，这还不是结果，但似乎是一个有前途的研究方向，并且从原则上讲，它不需要类别理论来追求：

• CQM的主要产品之一是ZX演算，它可以描述为类似于电路表示法的张量表示法，但是它还配备了用于将等效图相互转换的正式系统。对于将其用作简化电路和在特定架构中实现单一电路的实用工具，存在着一系列研究。这部分基于以下事实：ZX图是一种表示法，它使您可以推断除单一电路之外的张量，因此在原理上更灵活。

每个人都应该立即开始使用CQM吗？

可能不会。

正如出于异类学术原因而设计的许多东西一样，它不一定是解决每个人可能要问的问题的最佳工具。如果要运行数值模拟，则有可能使用C或Python作为编程语言，而不是SML。但是，与此同时，正如大型软件公司认真开发的编程语言可能会及时被在这种异质学术背景下首先提出的思想所告知一样，CQM的某些思想和优先考虑最终也会被过滤掉对于更广泛的社区而言，它已不再像今天看起来那样孤立。

CQM似乎还没有为（但）这些主题提供有用的方法，例如不同状态或操作之间的距离度量。但是每个数学工具都有其局限性：我希望我不会在不久的将来使用量子通道理论来考虑如何简化unit回路。

CQM将为某些问题提供一些见识，并可能提供方便的分析方法。上面提供了此类主题的一些示例，可以合理地假设，随着时间的推移，更多的应用领域将变得显而易见。对于CQM有用的主题，可以选择是否花时间学习如何使用有用的工具。除此之外，您是否足够好奇取决于您。在这方面，它就像量子信息论中所有其他潜在的数学技术一样。

摘要

• 如果CQM似乎没有很多新颖的应用，那是因为没有-因为这不是CQM的主要动机，也没有很多人研究它。
• 其主要动机是遵循计算机科学和物理学的基础。
• CQM工具在主流量子信息理论中的应用确实存在，随着时间的流逝，您会看到更多的应用。