Grover的搜索算法有哪些应用程序？

Grover的搜索算法通常是在未排序的数据库中查找标记的条目时谈论的。这是一种自然的形式主义，可将其直接用于寻找NP问题的解决方案（在这里容易识别出好的解决方案）。

我有兴趣了解格罗弗搜索在寻找一组数字的最小值，均值和中值的其他应用。这让我想知道是否还有其他已知的Grover搜索应用程序（或其一般化应用程序，例如振幅放大）？任何简短的见解如何做到这一点将不胜感激。

algorithm grovers-algorithm

— 达夫·沃利
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除了您提到的以外，我知道的（一种改进的）格罗弗算法的另一个应用是解决复杂性理论，量子计算和计算数学中的碰撞问题。也称为BHT算法。

介绍：

碰撞问题通常是由Scott Aaronson在其博士论文中描述的2对1版本。鉴于甚至和功能我们事先知道是1对1或2对1。我们只能做出关于价值查询对于任何 $n$ $f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$ $f$ $f(i)$ 。然后问题问我们需要确定多少个查询才能确定是1比1还是2比1。 $i\in\{1,2,...,n\}$ $f$

确定性地解决2对1版本需要查询，通常将r对1函数与1对1函数区分开需要查询。 $n/2+1$ $n/r+1$

确定性经典解：

这是信鸽原理的直接应用：如果一个函数是从r到1的关系，那么在查询之后，我们保证会发现一个碰撞。如果函数是一对一的，则不存在冲突。如果我们很不幸，那么查询可能会返回不同的答案。因此，查询是必要的。 $n/r+1$ $n/r$ $n/r+1$

随机经典解：

如果我们允许随机性，那么问题就更容易了。根据生日悖论，如果我们随机选择（不同）查询，则很有可能在之后出现任何固定的2比1函数冲突查询。 $\Theta(\sqrt{n})$

量子BHT解决方案：

直观地讲，该算法将使用（经典）随机性的生日悖论的平方根加速与通过Grover（量子）算法的平方根加速进行了组合。

首先，的输入至随机选择和在所有这些查询。如果这些输入之间发生冲突，那么我们将返回碰撞的输入对。否则，所有这些输入将通过映射到不同的值。然后，使用格罗弗（Grover）算法查找冲突的的新输入。由于只有这样的输入到，Grover的算法可以通过使只找到一个（如果它存在） $n^{1/3}$ $f$ $f$ $f$ $f$ $n^{2/3}$ $f$ $\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$ $f$

资料来源：

— Sanchayan Dutta
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关于BHT解决方案的一些评论（我发现Wikipedia文章没有启发性）：首先，选择

n^{1 / 3}

$n^{1/3}$ 测试输入

f

$f$ 随意地。假设它们没有碰撞。对这些值进行排序

x

$x$ 根据

f (x)

$f(x)$ 。现在，如果

f (x)

$f(x)$ 是2比1，有

n^{1 / 3}

$n^{1/3}$ 价值观

x

$x$ 尚未经过测试的设备与经过测试的设备发生冲突。因此，定义一个检查“尚未测试并碰撞”的函数。这定义了标记的条目。碰撞易于通过排序的值列表进行测试

f (x)

$f(x)$ 。知道标记条目的确切数量（如果是2比1），Grover（几乎）可以保证找到解决方案。

— DaftWullie

@DaftWullie是的，那肯定是有道理的。Grover的算法不能保证解决方案，但是提供正确解决方案的可能性很高。但是从Wikipedia描述本身来看，这不是很明显吗？我不确定我是否理解您的意思或反对意见。我想念什么吗？

— Sanchayan Dutta，

All I can say is that it wasn't obvious to me. On first reading, I understood (falsely) that for Grover's, instead of preparing a superposition of all possible states, it only prepared a superposition over the ones not already tested. But that seemed crucial to the way that the speed-up was explained. Also, I was initially concerned about how the collisions were being checked: which pairs were being checked for collisions, and how efficiently could the collision be calculated?

— DaftWullie

@DaftWullie啊，好的。我明白你的意思。维基百科没有详细介绍算法。有关详细信息，您可以始终参考原始论文（arxiv.org/abs/quant-ph/9705002）（我想您已经这样做了）。稍后，我将尝试扩展此答案以包括所有详细信息。我还在读报纸。

— Sanchayan Dutta

除非量子比特和量子门的价格比比特和经典门的价格便宜，否则关于BHT的任何讨论都应包含以下警告：成本超过使用范·奥肖特－维纳机的最新经典碰撞搜索。有关详细信息，请参见cr.yp.to/papers.html#collisioncost或blog.cr.yp.to/20171017-collisions.html。（后者是对所谓的BHT改进的回应，该改进声称比经典的碰撞搜索更具成本效益。）

— Squeamish Ossifrage

Grover的算法也广泛用于量子密码学中。它可以用于解决先验对数问题，多项式求根问题等问题。

— da281
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您愿意详细说明吗？这些问题是什么？在哪里可以阅读有关它们的更多信息？

— DaftWullie

ieeexplore.ieee.org/document/7016940这是一份ieee论文，旨在开发一种解决多项式求根问题的量子算法。您可以在此处了解更多信息

— da281

Grover的算法可以比蛮力搜索更快地解决任何数值优化问题，因为任何优化问题都可以表述为搜索问题（在其中搜索大于或小于某个固定值的函数输出 $M$ 在每次运行中重复一次，然后使用二进制搜索重复对数运行，以找到最佳 $M$ ）：https：//epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/040605072？journalCode = sjope8。

实际上，对于许多困难的优化问题（例如NP完全问题），格罗弗的算法是最著名的量子算法，这些问题的结构没有比蛮力搜索更聪明的经典算法：https：// link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67。

— 帕克
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