在我看来，与量子计算的前景息息相关的一个问题将是量子系统的工程复杂性如何随大小缩放。这意味着，比起一台n -qubit计算机，构建1- qubit计算机要容易得多。在我看来，这大概类似于这样的事实，它更容易分析解决ñ 1比一个体区的问题ñ体区的问题，因为纠缠是量子后面摆在首位计算的主要推动因素。$n$ $1$$n$$n$ $1$$n$

我的问题如下：似乎我们应该真正关心构建和控制体量子系统的“难度”如何随n增长。修复门的架构，甚至是算法-原理上是否由于n量子位计算机是量子多体问题而引起困难？从数学上讲，我们对量子现象如何扩展为经典现象的理解还很差？这里的困难可以用多种方法来定义，而我们要关心的问题是控制一个1000量子位的机器（即保持其波函数的相干性），比控制一个“ 困难”的难度仅高100倍。$n$$n$$n$$1000$$100$位机器，或 100 2，或 100 ！或 100 100？我们是否有任何理由相信它或多或少是前者而不是后者？$10$$100^2$$100!$$100^{100}$

我已经思考了十多年了。2008年，我是一名学生，我告诉我的量子计算教授，我想研究执行量子算法的“物理复杂性”，而众所周知的“计算复杂性”可以从量子计算中受益。

例如，格罗弗搜索需要量子门与O（n）经典门相反，但是如果控制量子门的成本缩放到n4而经典门则只有n？$\mathcal{O}(\sqrt{n})$$\mathcal{O}(n)$$n^4$$n$

他立即回答：

“当然，您对物理复杂性的想法将取决于实现”

事实证明这是事实。用NMR 操纵量子位的“物理复杂性” 比超导量子位要差得多，但是对于这两种情况，我们都没有关于n的物理困难的公式。$n$$n$

这些是您需要采取的步骤：

1.为您的量子计算机提出一个准确的去相干模型。例如，对于GaAs量子点中的自旋量子位，这与钻石NV中心中的自旋量子位将有所不同。
2.在存在退相干的情况下准确计算量子位的动力学。
3.绘制与n的关系图，其中F是与没有去相干性的结果相比，n个去相干的量子比特的保真度。4.这样可以指示错误率（但是不同的算法将有不同的保真度要求）。5，$F$$n$$F$$n$

选择一个纠错码。这会告诉你有多少物理量子位需要为每一个逻辑量子位，一个误差率。6.现在，您可以绘制“设计”量子计算机的成本（以所需的辅助量子位的数量计）。$E$

现在，您可以看到为什么必须要来这里提出问题，而答案却不在任何教科书中：

步骤1取决于实现的类型（NMR，光子学，SQUIDS等）。
步骤2很难。无消相干动力学已经在没有物理近似的情况下被模拟为64个量子位，但是具有消相干的非马尔可夫非扰动动力学目前仅限于16个量子位。
步骤4取决于算法。因此，即使使用特定类型的实现方式（例如NMR，Photonics，SQUID等），也没有物理复杂度的“通用缩放”。
步骤5取决于错误校正代码的选择

因此，要专门回答您的两个问题：

$100$$10$$100^2$$100!$$100^{100}$

这取决于您在第1步中所做的选择，即使对于特定的算法，也没有人能够一路完成第1步到第3步，从而获得关于qubit数量的物理复杂度的精确公式。因此，这仍然是一个悬而未决的问题，受限于模拟开放量子系统动力学的难度。

我们是否有任何理由相信它或多或少是前者而不是后者？

$n!$$n^{100}$$n$

电路复杂度

我认为第一个问题是真正了解“控制”量子系统的含义。为此，开始考虑经典案例可能会有所帮助。

$n$$2^n$$2$$2^{2^n}$$2^n/n$$k$$2^n$

$n$$\epsilon$$O(n^2)$，那么适当地控制一台1000比特的机器比控制一台10比特的机器困难10000倍，这意味着您需要更长的时间来保护它免于退相干，实现更多的门等。

退相干

跟进评论，

让我们考虑一种特定的算法或一种特定的电路。我的问题可以重提- 在我们按比例缩放这些电路的数量时，是否有任何迹象表明，从理论上或实践上，防止（去工程化）问题如何防止退相干的规模扩大？

这分为两个制度。对于小规模的量子器件，在进行纠错之前，您可能会说我们处于NISQ机制中。这个答案可能与该制度最相关。但是，随着设备尺寸的增大，收益将会递减。仅增加更多的量子位，完成工程任务就变得越来越困难。

$p$$\leq p$$p$$p$$1\%$$O(-\log\epsilon)$$\epsilon$$O(-\log\epsilon)$比例因子。对于特定的数字，您可能会对Andrew Steane进行的各种计算感兴趣：请参阅此处（尽管现在可以稍微改善一些数字了）。

真正令人信服的是，随着门误差越来越接近纠错阈值，这些关系中的系数将如何变化。我似乎无法做出适当的计算（我确定安德鲁·史坦（Andrew Steane）曾在某个时候做过一次。可能是我参加的一个演讲。），但它们确实爆炸得很厉害，因此您想进行操作低于门槛的体面利润。

就是说，在考虑这些因素之前，必须对您的体系结构进行一些假设。例如，必须有足够的并行度。您必须能够同时对计算机的不同部分进行操作。如果一次只做一件事，错误总是会太快地累积。您还希望能够扩大制造过程，而事情不会变得更糟。例如，似乎超导量子位对此将非常有用。它们的性能主要取决于制作电路不同部分的精度。您只需要正确一次，就可以“重复”多次以制作许多量子位。

$m$$n$

因此，从某种意义上说，“保真度”可以估算出处理器有多容易出错。如果您使用量子计算机来计算化学反应动力学或任何其他问题，这些问题可能会使用叠加来实现量子加速（甚至最终达到“量子至上性”），那么您可能会受到退相干或达到叠加的速度的影响，可以在无错误操作中发挥作用。无论我们使用1量子位还是200量子位，“保真度”都可以给出错误估计。在发生泄漏错误的绝热情况下，您甚至可以“设计”哈密顿量，以给出高保真度的量子比特。

注意，在实践中，非常需要99.5％+的错误率，以促进有效的错误校正。误差率可以是读取精确到qubit之间的电子自旋的类型。在这种情况下，缩放系统时，99.5％或99.8％（五个或六个sigma类型的置信度）的错误率将需要较少的开销（错误校正）。