为什么量子门是单一的而不是特殊的单一？

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鉴于无法从物理上分辨出状态的全局阶段，为什么量子电路用of而不是特殊unit来表述？我得到的一个答案是，这只是为了方便，但我仍然不确定。

一个相关的问题是：就某些基本门而言，a的（数学矩阵）和的物理实现方式是否存在差异？假设没有（这是我的理解）。然后，和的物理实现应相同（只需将控件添加到基本门）。但是随后我陷入了一个矛盾，即这两个unit的和在相位上可能不相等（作为数学矩阵），因此看来它们对应于不同的物理实现是合理的。 $U$ $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$

我在这里的推理中做错了什么，因为这表明和即使在阶段上等效也必须以不同的方式实现？ $U$ $V$

另一个相关的问题（实际上是我的困惑的根源，我将不胜感激地回答这个问题）：似乎可以使用量子电路来估计复数重叠的模数和相位（请参阅https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016）。但这是否又不是暗示和明显不同？ $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity

— 直流
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相反，射影group组哲学上更准确。那是因为运算要取一个任意unit矩阵，并且要失去相位和该相位为的子集。映射从因此它们在箭头的相反侧。

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

— AHusain '18年

@AHusain哪些是“地图”？就商而言，它将。

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

— 诺伯特·舒奇

SU是行列式为1的子集，因此它包含到U中的映射。PU是商出。您可以采用射影unit，并在SU中使用行列式1作为代表，但这不是自动的。

— AHusain '18年

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即使您只限于特殊行动，各州仍将累积全球阶段。例如，是特别统一但。 $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

如果国家无论如何都将积累不可观察的全球阶段，那么我们将自己限制在特殊的统一行动中会得到什么好处呢？

在那里在物理实现一个整体的任何差异（数学矩阵）和，在一些基本门方面说什么？ $U$ $V :=e^{i\alpha}U$

只要您不做任何可能使全局阶段相关的事情，它们就可以具有相同的实现。但是，如果您要执行类似操作，

将控制添加到基本门

是的，那样。如果您这样做，那么您就不能忽略全局阶段。控制将全局阶段转换为相对阶段。如果要完全忽略全局阶段，则不能使用黑框“添加控件”操作修饰符。

— 克雷格·吉德尼
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谢谢，但是对于通用门集合中的门不存在“添加控件”修饰符，您可以首先将

和

分解为这些门以添加控件，例如c-

是CNOT门。

U

$U$

V

$V$

X

$X$

— dcw

1

@Daochen是的，您可以执行此操作，但这不是在忽略子操作的全局阶段时添加控件的示例。在确定总体受控操作应执行的确切操作以及如何分解时，您将必须明确决定子操作的全局阶段。

— Craig Gidney '18

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量子门是单一的，这一事实源于（封闭的）量子系统的演化是由薛定din方程产生的。对于试图以恒定速率实现特定a变换的时间间隔，我们使用与时间无关的薛定ding方程：

\frac{d}{d Ť} | ψ （ Ť ） ⟩ = \frac{1个}{一世 ℏ} H | ψ （ Ť ） ⟩ ，

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

其中是系统的哈密顿量：厄米矩阵，其特征值描述能量特征值。特别地，的特征值是实数。这个方程的解是 $H$ $H$

其中是通过获取的特征向量并将其特征值替换为

| ψ （ Ť ） ⟩ = 经验值 （ - 一世 H Ť / ℏ ） | ψ （ 0 ） ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$ 。因此，从具有真实特征值的矩阵中，我们得到特征值是具有单位范数的复数的矩阵。

要使这种演变具体成为一个特殊的ary矩阵，将需要什么？一个特殊的unit矩阵是一个行列式正好为矩阵；也就是说，其特征值都乘以。这对应于的特征值总和为零的限制。此外，由于的特征值是能级，因此是否 $1$ $1$ $H$ $H$ 其特征值的总和等于零取决于您决定如何固定零能量点-实际上这是参考系的主观选择。（特别是，如果您决定采用所有能量级别均为非负值的约定，则意味着没有任何有趣的系统将能量本征值的总和设为零。）

简而言之，门是单一的，而不是特殊的单一的，因为门的行列式并不对应于物理上有意义的属性-在明确的意义上，门是由物理学产生的，而与门的行列式相对应的条件为1是一个人自己的参考系的条件，而不是身体动力学的条件。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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当写门的，例如，量子电路原理图，你可以总是使用具有决定性一个（从特殊酉群）的约定写他们，但它只是一个约定。它与您实现的电路没有物理差异。就像在其他地方所说的，自然产生的结果是否直接对应于特殊的unit确实是一种约定，并且将0能量定义为何处。

对于开始实施受控，有一个有趣的比较。比方说，我们定义。我们如何才能按照受控实现受控？应用受控，然后，在控制量子位，在应用相栅。这里有两件事要观察。首先，差异在于控制量子位而不是目标量子位。目标qubit，您将在其中实现 $U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

— 达夫·沃利
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$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

— 用户名
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