违反量子汉明界

非简并量子纠错码的量子汉明界定义为：$[[N,k,d]]$

但是，没有证据表明简并代码应遵守此限制。我想知道是否存在任何违反量子汉明界的简并代码示例，或者在证明简并代码的相似边界方面是否已有进展。

$$\begin{equation} 2^{N-k}\geq\sum_{n=0}^{\lfloor d/2\rfloor}3^n\begin{pmatrix}N \\ n\end{pmatrix}. \end{equation}$$

您可能对此问题的答案感兴趣。的退化码击败海明绑定的量子一个例子是在这里。我也有一个小的侵犯的数值例如在我自己的工作，在这里。在图二中，您将看到一个放大的部分。本质上，黑线是量子汉明限界（根据所写内容可能并不完全清楚！），而灰线是与Toric代码相关的事物可以实现的近似值。还将有其他示例！

关于不违反量子汉明界的简并代码类，似乎有许多结果（例如，here和here）。我没有读过它们，所以不知道它们有多有用，但是摘要表明它们提供了一个很好的对立点，传达了良好的简并代码的稀有性。