Shor算法已考虑了哪些整数？

预计Shor的算法将使我们能够分解远大于在现代经典计算机上可行的整数。

目前，仅分解了较小的整数。例如，本文讨论因式分解 $15=5{\times}3$ 。

从这个意义上说，最新的研究是什么？最近是否有任何论文说已经分解了一些更大的数字？

shors-algorithm

— 说谎的舞者
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— agaitaarino '18

Answers:

用Shor算法完成的素数分解（21（7x3））迄今为止是最大的。如本文所详述，它是在2012年完成的。但是，应该注意的是，使用最小化算法已将更大的数字（例如2014年的56,153）考虑在内，如此处所述。为了方便参考，请参见本论文的表5 ：

{\begin{matrix} Table 5: Quantum factorization records \\ \begin{array}{cccccc} Number & # of factors & \begin{matrix} # of qubits \\ needed \end{matrix} & Algorithm & \begin{matrix} Year \\ implemented \end{matrix} & \begin{matrix} Implemented \\ without prior \\ knowledge of \\ solution \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Shor & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Shor & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & minimization & not yet & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & minimization & not yet & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— 希瑟
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@SqueamishOssifrage：最小化算法在哪里说“限于其因素具有已知关系的数，这些因素使搜索空间小得多，例如仅几位位置不同或除少数位置以外的所有位置都不同”？

— user1271772

@ user1271772据我了解，该技术依靠通过消除因子位之间的已知关系来消除变量，从而将问题减少到仅需要可处理数量的qubit。尽管影响因子

的量子位的数量可能仅与

，但我读过的论文似乎都没有尝试过根据量子位或

的函数来估计求解时间的增长。。

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

— Squeamish Ossifrage

@SqueamishOssifrage：“通过消除因子位之间的已知关系来消除变量”，您是否同意 arxiv.org/pdf/1411.6758.pdf中的 1 表示z12 = 0，而位之间没有任何“已知”关系？您是否同意可以针对任意p1，p2，q1，q2推论z12 = 0？下一个：表中的方法变量（量子位）的数量

不

。如果允许任意的4量子位交互，则可以在具有

量子位的退火炉上解决该问题。如果只有2个量子比特的相互作用是允许的，你需要

。

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

— user1271772

@SqueamishOssifrage：“我读过的论文似乎都没有尝试过根据量子位数来估计求解时间的增长”。这是一个尝试：journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 但是“解决时间”并不重要，而是需要付出的努力。GNF筛分很容易，但基质步骤非常繁琐。以合理的最佳方式执行Shor算法很麻烦。最小化算法很简单。

— user1271772

@SqueamishOssifrage：最后：“请注意，最小化算法仅限于其因子具有已知关系的数” ..该算法的任何部分均不限于“已知”关系。该算法不假设任何有关因素。没有关系这些位都是通过最小化确定的未知变量。对于某些数字，可以用更少的量子位来完成最小化。Shor算法也是如此。GNFS也是如此。实际上，如果您要考虑的数字是偶数，则考虑它很容易。

— user1271772

对于索尔（Shor）的算法：最新技术水平仍为15。为了在Heather提到的论文中“分解” 21，他们必须利用的事实来选择基数。2013年，在《假装在量子计算机上分解数字》一文中对此进行了解释，该论文后来由《自然》杂志发表，标题稍为友好。量子计算机没有考虑21因子，但是验证了7和3因子确实是正确的。 $21=7\times 3$ $a$

对于退火算法：现有技术为376289。但是我们不知道这将如何扩展。分解RSA-230所需的量子位数量的非常粗略的上限是55亿量子位（但是可以通过更好的编译器将其大大降低），而Shor的算法可以达到381量子位。

— 用户名
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你会在我的答案表中发现有“无解的先验知识实现”一栏有一个“x”为所有Shor算法的实现，导致我相信，保理15.类似的东西是真实的

— 石楠

因数分解的大小对于因数分解问题的复杂性以及相应的量子算法的功能不是一个好的度量。相关的度量应该是算法中出现的结果函数的周期性。

这在J.Smolin，G.Smith，A.Vargo：假装在量子计算机上分解大数，Nature 499，163-165（2013）中进行了讨论。特别是，作者还给出了一个具有20000个二进制数字的数字的示例，该数字可以用两个量子位的量子计算机进行分解，其实现方式与以前用于分解其他数字的方式完全相同。

应该注意的是，作者为达到该量子算法而进行的“手动简化”也是已经完成的，例如针对原始实验的分解为15。

— 诺伯特·舒赫
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