纠缠是传递的吗？

从数学意义上说，纠缠是传递的吗？

更具体地说，我的问题是这样的：

考虑3个量子比特 $q_1, q_2$ 和 $q_3$ 。假使，假设

$q_1$ 和 $q_2$ 纠缠在一起
$q_2$ 和 $q_3$ 纠缠

然后，是 $q_1$ 和 $q_3$ 纠缠？如果是这样，为什么？如果没有，是否有具体的反例？

关于我的纠缠概念：

量子位 $q_1$ 和 $q_2$ 纠缠在一起，如果在找出之后又纠缠了 $q_3$ 位 $q_1$ 和 $q_2$ （找出 $q_3$ 相当于测量 $q_3$ 并丢弃结果）。
量子比特和纠缠，如果在找出之后，比特和纠缠。 $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
量子位和纠缠，如果在找出之后，位和纠缠。 $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

只要您明确指出该概念，就可以随意使用其他任何合理的纠缠概念（不一定是上面的那个）。

entanglement

— 彼得
source

你能确认最后的声明吗？在您提出问题后，我希望得到类似的陈述，但标签的顺序不同（关于测量q2后q1和q3的缠结的陈述）。

— agaitaarino '18

@agaitaarino我已经更新了“纠缠”部分，现在应该更清楚了……

— 彼得

我一直将拉丁方视为概率矩阵，其中任何一维数组的元素都是“纠缠的”，因为任何给定表示元素的概率都是相互依赖的。添加维时，这些一维数组与其他一维数组正交相交，从而扩展了“纠缠”。 （我的猜测是，这在杂草中几乎可以解决：非典型概念纠缠，但我不是第一个在QT和拉丁方格/数独之间提出“精神上相似之处”的人。）谢谢你这个问题！

— DukeZhou

既然您已经澄清了要丢弃的测量结果，那不是我以为您在谈论的可本地化的纠缠，它是更标准的概念。最好讨论“追踪”多余的量子比特而不是进行测量并丢弃结果。

— DaftWullie

@DaftWullie谢谢！我已相应地更新了问题

— 彼得

Answers:

TL; DR：这取决于您选择如何测量一对量子位上的纠缠。如果要找出多余的量子位，则为“否”。如果测量量子位（可以自由选择最佳测量基础），则选择“是”。

让为3个量子位纯量子态，标记为A，B和C，我们将说，A和B缠绕如果 $|\Psi\rangle$ 不是的作用下正部分转置贴图。这是检测二量子位系统中纠缠的必要和充分条件。部分迹线形式主义等同于任意测量量子位C并丢弃结果。 $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

有一类反例显示纠缠不是可传递的，形式为提供。如果你描绘出量子或量子，你会得到相同的密度矩阵两次：

| Ψ ⟩ = \frac{1个}{\sqrt{2}} （ | 000 ⟩ + | 1个 ϕ ϕ ⟩ ） ，

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

可以采取局部转的这个（服用它在第一系统是最清洁的）：

ρ_{A C} = ρ_{A B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

现在采取行列式（其等于特征值的乘积）。你得到

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

其为负的，所以必须有一个负的特征值。因此，

和

是纠缠的对。同时

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

由于这是一个有效的密度矩阵，因此它是非负的。但是，部分转置恰好等于其自身。因此，没有负特征值，并且

没有纠缠。

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

本地化纠缠

人们可能会谈论可本地化的纠缠。在进一步澄清之前，这就是我认为OP所指的内容。在这种情况下，您可以根据自己的选择来测量量子位，而不必寻找一个量子位，并针对每个测量结果分别计算结果。（稍后会有一些求平均过程，但这在这里与我们无关。）在这种情况下，我的回答专门针对纯状态，而不是混合状态。

这里的关键是纠缠状态有不同的类别。对于3个量子位，有6种不同类型的纯态：

完全可分离的状态
三种类型，其中两方之间存在纠缠状态，而第三方之间存在可分离状态
W状态
GHZ状态

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | G H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— 达夫·沃利
source

谢谢，这已经清除了很多。您能指出我的“标准”纠缠度吗？我可能想在我的问题中明确使用它。

— 彼得

@Peter：看看编辑后的版本是否还能提供更多帮助。

— DaftWullie '18

感谢您的回答！我可以问一个关于对称性的朴素问题吗？“在粒子交换下，两个代表都是对称的”。（我通常对对称性的不同概念非常感兴趣。）

— DukeZhou

@DaftWullie：鉴于您的答案似乎是“不，即使在三个量子位系统上，纠缠也不会传递”，也许您应该浓缩答案以使其更明显？

— Niel de Beaudrap，

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

这不是答案，而是一些重要的背景知识，这些知识要避免在这些类型的问题上“甚至不是错误的”领域。

“纠缠”不是全有或全无。仅仅说“ q1与q2纠缠，q2与q3纠缠”还不足以确定诸如“如果我测量q3，q1还会与q2纠缠吗？”之类的问题的答案。处理大型系统时，纠缠变得复杂。您确实需要知道特定的状态，测量值，以及是否允许您根据测量结果进行调整。

可能是q1，q2，q3纠缠在一起，但如果您找出任何一个量子位，则其余两个的密度矩阵只能描述一个经典的相关状态。（例如，GHZ状态会发生这种情况。）

你应该意识到纠缠的一夫一妻制。超过某个阈值，增加q1和q2之间的纠缠强度必须降低q1和q3（以及等效地q2和q3）之间的纠缠强度。

— 克雷格·吉德尼
source

是的，指出纠缠的一夫一妻制！

— agaitaarino

@agaitaarino导致“压缩纠缠”和冯·诺依曼熵！

— DukeZhou

我在弗洛伊登塔尔的三位纠缠三重经典中读到以下内容：

“Dür等人（三个量子位可以用两种不相等的方式进行纠缠）使用了关于守恒密度矩阵的秩的简单论点，这里只有六个三量子位等价类：

空（与消失状态相对应的平凡零纠缠轨道）
可分离的（另一个零缠结轨道，用于完全可分解的产品状态）
可分的（三类二分纠缠：A-BC，B-AC，C-AB）
W（最大不违反贝尔型不等式的三向纠缠态）和
GHZ（最大违反贝尔型不平等）”

据我了解，您的问题的答案是肯定的：如果A和B发生纠缠，而B和C发生纠缠，则您必然处于三向纠缠状态之一，因此A和C也会发生纠缠。

— agaitaarino
source