Holevo信息不等式的证明

假设我有一个经典-经典-量子通道 $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$，在哪里 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$是有限集，是有限维复杂希尔伯特空间上的密度矩阵集。$\mathcal{D}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

假设是上的均匀分布，并且$p_x$$\mathcal{X}$$p_y$ 是均匀分布在 $\mathcal{Y}$。此外，定义分布$p_1$ 上 $\mathcal{X}$ 和 $p_2$ 上 $\mathcal{Y}$，Holevo信息

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

哪里 $H$ 是冯·诺依曼熵

我想展示一下

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ 那， $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

到目前为止，我尚未确信该声明最初是正确的。在证明这一点上，我没有取得太大进展，但似乎某种三角不等式可以验证这一说法。

感谢您对声明是否应保留的任何建议以及如何证明声明的提示。

看来该陈述通常是不正确的。假设$X = Y = \{0,1\}$， $\mathcal{H}$ 是对应于单个量子位的希尔伯特空间，并且 $W$ 被定义为

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ If $p_y$ is the uniform distribution, the optimal choice for $p_1$ is $p_1(0) = 1$ and $p_1(1) = 0$, which gives $\chi(p_1,p_y,W) = 1$, which is the maximum possible value. (I assume you mean to define $p_1$ and $p_2$ as the argmax of those expressions, not the supremum.) Likewise, if $p_x$ is uniform, $p_2(0) = 1$ and $p_2(1) = 0$ is optimal, and the value is the same. However, $\chi(p_1,p_2,W) = 0$, so the inequality does not hold.