如何在IBM Q（composer）上实现“交换门的平方根”？

我想模拟一种量子算法，其中一个步骤是2个量子位之间的“交换门的平方根”。

如何使用IBM Composer实施此步骤？

quantum-gate gate-synthesis ibm-q-experience

— JanVdA
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使用简单的交换门作为“砖”来构造交换门的平方根也许是有用的。您可以通过以下方式在IBM Q上进行仿真：cx q [1]，q [0]; hq [0]; hq [1]; cx q [1]，q [0]; hq [0]; hq [1]; cx q [1]，q [0];

— 说谎的舞者

@JanVdA平方根不是唯一的。实际上，应该有2 ^ 4 = 16个可能的根。你是什么意思

— Norbert Schuch

任何人都会为我做。没有偏好特定的一个。

— JanVdA

Answers:

这是一个SQRT（SWAP）构造，仅需要一个方向的CNOT，Hadamards，S门（），S匕首门（），T门（）和T匕首（）： $Z^{\frac{1}{2}}$ $Z^{-\frac{1}{2}}$ $Z^{\frac{1}{4}}$ $Z^{-\frac{1}{4}}$

您应该能够将其直接编码到作曲家中。

— 克雷格·吉德尼
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如何从第一原理中获得这一点？

— user1271772

@ user1271772哪些是“首要原则”？

— Norbert Schuch

我不知道如何使用IBM Composer 实现和。

Z^{1 / 2}

$Z^{1/2}$

Z^{- 1 / 2}

$Z^{-1/2}$

— JanVdA

@ user1271772我从CNOT-NOTC-CNOT交换电路开始，用C-sqrt（not）代替了中间的CNOT，使整个东西变成sqrt（SWAP），将C-srt（not）分解为S + CNOT门，移动了一些闸门，直到我设法取消了一个CNOT，然后使用Hadamards翻转了任何指向错误方向的CNOT的方向。

— Craig Gidney

Z^{1 / 2}

$Z^{1/2}$ 是

S

$S$ 和

Z^{- 1 / 2}

$Z^{-1/2}$ 是

S^{†}

$S^\dagger$ （看看作曲家的蓝色大门）。

— Craig Gidney

您要对和跨越的子空间进行旋转，然后将其旋转。为此，您可以首先执行CNOT，它将该子空间映射到。现在，您需要对第一个量子位执行旋转，条件是第二个量子位为1。使用CNOT 实施受控闸门是一种标准结构，可在许多地方找到，请参见例如https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016。根据执行此步骤的方式，您可能必须修复第一个量子位的“全局”阶段（假设第二个）。最后，您需要撤消CNOT。 $|01\rangle$ $|10\rangle$ $\sqrt{X}$ $\{|01\rangle,|11\rangle\}$ $\sqrt{X}$ $U$ $|1\rangle$

— 诺伯特·舒赫
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我不清楚1）您如何在作曲家中执行。2）如何在作曲家中撤消CNOT 3）您提到了受控U门，但尚不清楚在算法中应在何处使用它们。我认为对该算法进行逐步描述将有助于在IBM作曲家上实现该算法。

\sqrt{X}

$\sqrt{X}$

— JanVdA

@JanVdA恐怕您必须自己做一些工作才能使自己熟悉量子电路及其操作。否则，一旦您知道sqrt-SWAP的电路，您将怎么办？

— Norbert Schuch

仅供参考：我已使用上面的sqrt-SWAP描述来测试针对IBM Composer上quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2209/…建议的解决方案。

— JanVdA

@JanVdA哪一个？被接受的？那只谈论受控SWAP。（为此：journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.53.2855）

— Norbert Schuch

对不起，我这里指的是对问题接受的解决方案： mathoverflow.net/questions/301733/...

— JanVdA

-1

每个2比特的门都有一个“保利诺式分解”，这意味着它可以写为保利矩阵的多项式。

对于您想要的登机口：

$\sqrt{ \mbox{SWAP} } = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{2}} (1+i) & \frac{1}{{2}} (1-i) & 0 \\ 0 & \frac{1}{{2}} (1-i) & \frac{1}{{2}} (1+i) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \frac{1-i}{4}\left(X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2\right) +\frac{3+i}{2}I,$

哪里 $X_i$ 是一个 $X$ 门应用于 $i^\textrm{th}$ 量子比特。

— 用户名
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好的，谢谢您的回答-我需要研究一点以弄清楚如何将其转换为IBM Composer。

— JanVdA

@JanVdA怎么了？您不能将X，Y和Z门拖放到电路中吗？您可能想问一个关于如何将门乘以常数的单独问题。

— user1271772

我可以拖放X，Y，Z门，但是我不知道如何做乘法（例如

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$ ），添加项（例如

X_{1} X_{2} + Y_{1} Y_{2}

$X_1X_2+Y_1Y_2$ ），乘以一个常数，我什至不知道你的意思是

I

$I$ 。我想我一定听起来像个白痴。

— JanVdA

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$ 表示您正在申请

X

$X$ 到qubit 1和

X

$X$ 到qubit2。但是，正如我在前面的评论中提到的那样，我认为您应该问一个关于如何乘以常数的单独问题。

— user1271772

另请参见等式。本文第8条：arxiv.org/pdf/1805.10478.pdf以及补充材料中的电路图。等式这篇论文中的8个与我给你的完全一样，只不过

Z

$Z$ 盖茨。它仍然是“保利诺马尔”，但只有

Z

$Z$ 盖茨，它是在该白皮书的IBM作曲家中实现的。

— user1271772