如何显示两个量子位状态是纠缠状态？

贝尔状态是一个纠缠状态。但是为什么会这样呢？我该如何数学证明呢？$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$

定义

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中的两个量子位状态是纠缠状态，并且仅当不存在两个一个 1 bit状态才是纠缠状态和使得，其中表示张量积和。$|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$| b ⟩ = γ | 0 ⟩ + λ | 1 ⟩ ＆Element; C ^ 2 | 一个⟩ ＆CircleTimes; | b ⟩ = | ψ ⟩ $|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$$|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$$|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$$\otimes$$\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$

因此，为了证明贝尔状态是一个纠缠状态，我们只需要证明不存在两个和单量子态，使得。| 一个⟩| b⟩| Φ+⟩=| 一个⟩＆CircleTimes;| b$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$|a\rangle$$|b\rangle$$|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$

证明

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假设

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$$

现在，我们可以简单地应用分配属性来获得

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

这必须等于，也就是说，我们必须找到系数，，和，使得α β γ $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

观察到，在表达式，我们要同时保持和。因此，作为系数的和不能为零；换句话说，我们必须具有和。类似地，复数乘以和不能为零，即和。所以，所有复数| 00 ⟩ | 11 ⟩ α γ | 00 ⟩ α ≠ 0 γ ≠ 0 β λ | 11 ⟩ β ≠ 0 λ ≠ 0 $\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$|00\rangle$$|11\rangle$$\alpha$$\gamma$$|00\rangle$$\alpha \neq 0$$\gamma \neq 0$$\beta$$\lambda$$|11\rangle$$\beta \neq 0$$\lambda \neq 0$$\alpha$，，和必须不为零。γ $\beta$$\gamma$$\lambda$

但是，要获得贝尔状态，我们要摆脱和。因此，在表达式中，数字（或两者）之一与（和）相乘，即和（分别为和）必须等于零。但是我们刚刚看到，，和| 01 ⟩ | 10 ⟩ | 01 ⟩ | 10 ⟩ α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩ α λ β $|\Phi^{+}\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$\alpha$$\lambda$$\beta$$\gamma$β γ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$必须全部不为零。因此，我们找不到复数 ，，和，使得$\alpha$γ $\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

换句话说，我们无法将为两个单量子位状态的张量积。因此，是一个纠缠状态。| Φ +$|\Phi^{+}\rangle$$|\Phi^{+}\rangle$

对于其他贝尔状态，或者一般来说，如果我们想证明一个状态是纠缠的，我们可以执行类似的证明。

当且仅当对于任意单个Qudit状态和，可以以的形式书写时，两个Qudit 纯状态是可分离的。否则，它会纠缠。

$$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$$ $|\psi\rangle$$|\phi\rangle$

要确定是否纠缠了纯状态，可以尝试使用蛮力方法来尝试找到令人满意的状态和，如该答案所示。在一般情况下，这是不礼貌的，而且很努力。证明此纯态是否纠缠的更直接方法是为其中一个量子计算缩减密度矩阵，即通过找出另一个量子。当且仅当秩为1时，状态是可分离的。否则，它将被纠缠。数学上，您可以通过评估来测试等级条件$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$$\rho$$\rho$$\text{Tr}(\rho^2)$。当且仅当此值为1时，原始状态才是可分离的。否则，状态将被纠缠。

例如，假设一个状态为。上的简化密度矩阵为 和 因此，我们有一个可分离的状态。$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$$A$

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$$ $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$$

同时，如果我们采用，则 和 由于此值不是1，因此我们处于纠缠状态。$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$$ $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$$

如果您想了解检测混合状态（不是纯状态）中的纠缠，则不太简单，但是对于两个qubit，有一个必要的和足够的可分离性条件：部分转置操作下的正性。