如何将量子电路解释为矩阵？

如果一个电路以一个以上的量子位作为输入，并且具有以不同数量的量子位作为其输入的量子门，那么我们将如何将该电路解释为矩阵？

这是一个玩具示例：

特定电路

第一个门是Hadamard门，通常由1表示

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$

现在，由于我们仅将其应用于第一个qubit，因此我们在其上使用了kronecker产品（当我刚开始时，这让我非常困惑-我不知道如何缩放门；您可以想象，这非常重要），所以我们做，在这里我是2×2矩阵。这产生$H\otimes I$$I$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

接下来，我们有一个CNOT门。通常用

$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$

这是两个量子位的正确大小，因此我们不需要使用克罗内克产品进行缩放。然后，我们有另一个hadamard门，其规模与第一个相同。为了找到电路的整体矩阵，我们将它们全部相乘：

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

并得到

$$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$$

（如果python正确相乘=），然后将其乘以原始的qubit状态，并得到结果。

概括

因此，基本上，您要一步一步地遍历每个门，采用基本表示，然后使用具有身份矩阵的克罗内克乘积来适当地缩放它们。然后将所有矩阵按它们应用的顺序相乘。确保这样做，以便在您写出乘法时，最右边的第一扇门就在右边。正如arriopolis指出的，这是一个常见错误。矩阵不是可交换的！如果您不知道矩阵的基本表示形式，请查看第一本有关量子门的维基百科文章。