绝热量子计算能比格罗弗的算法更快吗？

已经证明绝热量子计算等效于“标准”或门模型量子计算。但是，绝热计算显示出优化问题的希望，其目标是最小化（或最大化）某种与问题相关的功能，即找到最小化（或最大化）该功能的实例立即解决该问题。问题。

现在，在我看来，格罗弗（Grover）的算法基本上可以做到这一点：通过搜索解空间，它将找到一个满足oracle标准的解（可能从许多解中），在这种情况下，该解等于最优条件，在时间，其中N是解空间的大小。$O(\sqrt N)$$N$

该算法已被证明是最佳的：如Bennett等人所述。（1997年）提出，“ 不能在时间o （2 n / 2）上在量子图灵机上求解类 ”。以我的理解，这意味着没有任何方法可以构建比O $\rm NP$$o(2^{n/2})$，其中$O(\sqrt N)$$N$与问题的大小成比例。

所以我的问题是：虽然绝热量子计算在优化问题上通常被认为是优越的，但它真的能比？如果是的话，这似乎与格罗弗算法的最优性相矛盾，因为任何绝热算法都可以通过量子电路来模拟。如果不是，那么开发绝热算法的目的是什么，如果它们永远不会比我们可以使用电路系统地构建的算法快呢？还是我的理解有问题？$O(\sqrt N)$

好问题。对于非结构化搜索，绝热量子计算确实给出了完全相同的Roland和Cerf在此重要论文中证明，基于标准门的Grover算法的速度提高了 N倍。这与您提到的绝热和基于门的量子计算之间的等效性是一致的。$\sqrt{N}$

（对您的问题的一个小小的更正：您纠正了在oracle-search问题的设置中，您需要将搜索查询框架设置为oracle可以回答的是/否问题。但是实际上并没有采取这个问题。就像您建议的那样，是“ 是否将函数f （x ）极端化？”，而是“ f （x ）小于或等于M吗？”请参见此处的幻灯片9和10。这是因为后者的预言这个问题被认为是更实际的物理设置模型，可以想象对于给定的x可以直接计算或测量f （x $x$$f(x)$$f(x)$$M$$f(x)$$x$但。）$f(x) - f_\text{min}$

尽管如此，绝热QC有两个潜在的优势，这两个理论上都很难研究。首先是实际的：实际上，仅在期刊论文中绘制大型相干量子电路要困难得多。尽管绝热质量控制与传统设置相比没有任何根本优势，但通过实验实施可能会容易得多。

其次，对于AQC而言，与标准的Grover算法同样适用于同样的警告：它仅适用于非结构化搜索或“黑匣子”搜索，在此，我们完全忽略了Oracle在输入“相似”或“相似”时给出的答案之间的任何相关性。相关”查询。根据我们的定义，我们关心的任何实际搜索问题都将具有一定的结构，尽管这种结构对于我们而言可能过于复杂。例如，如果我们认为函数应被视为一种能源格局，那么合理的做法是该系统可以更轻松地在“附近”局部最小值之间建立隧道，而不是在“远处”局部最小值之间建立隧道。

因此，要在实际实验中真正严格地比较绝热和基于门的设置的相对利益，您需要“克服相对化障碍”，并考虑您要极端化的特定功能的结构，通常真的很难做到。这使得很难得出关于两种方法在现实世界中的相对优势的一般性结论。这也是为什么很难从理论上证明无条件复杂度分离的原因。我们都知道，现实世界，而不是甲骨文的问题，量子计算机或许能够给指数的加速-甚至可能为NP完全问题，这将意味着NP BQP，虽然这被认为是非常不可能的。$\subset$

从计算复杂性的角度来看，绝热量子计算不能比基于电路的量子计算更快地做任何事情。这是因为有一个数学证明，基于电路的量子计算可以有效地模拟绝热量子计算[见第5节本文 ]。

真的可以比 $\mathcal{O}(\sqrt{N})$？

答案是不。这是因为如果AQC可以这样做，$\mathcal{O}(\log{N})$，那么基于电路的质量控制也可以在 $\mathcal{O}(\log{N})$通过我上面链接的论文第5节中的算法。这将违反最优$\mathcal{O}(\sqrt{N})$ 用于非结构化搜索。