是否可以使用量子算法来加速加权矩阵的生成？

在这份^[1]论文的第2页上，他们提到他们正在生成权重矩阵，如下所示：

$$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$$

哪里 $\mathbf{x}^{(m)}$是的 $d$维训练样本（即 $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ 哪里 $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$）并且有 $M$总共训练样本。这种加权矩阵的生成使用矩阵乘法，然后求和$M$ 就时间复杂度而言，这些术语似乎是一项昂贵的操作，即我想 $O(Md)$ （？）。

是否存在可以大大加快生成加权矩阵的量子算法？我认为在本文中，它们的主要提速来自量子矩阵求逆算法（稍后在本文中进行介绍），但是他们似乎并未考虑加权矩阵生成的这一方面。

[1]：量子Hopfield神经网络 Lloyd等。（2018）

取密度矩阵

$$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$$ 许多细节都包含在第2页的以下段落中：

神经网络的量子适应至关重要的是激活模式的经典到量子读入。在我们的设置中，以激活方式阅读$x$ 等于准备量子态 $|x〉$。原则上，这可以通过使用量子随机存取存储器（qRAM）的开发技术[33]或有效的量子状态准备来实现，对于这些技术，存在基于oracle的受限结果[34]。在这两种情况下，计算开销都是对数的$d$。可以选择采用全量子视角并采用激活模式$|x〉$直接来自量子设备或作为量子通道的输出。对于前者，只要量子设备由数量最多与量子位成倍数缩放的多个门组成，我们的准备运行时间就非常有效。取而代之的是，对于后者，我们通常将通道视为固定形式的系统-环境交互形式，不需要实现任何计算开销。

上面的参考是：

[33]：V。Giovannetti，S。Lloyd，L。Maccone，Quantum随机存取存储器，Physical Review Letters 100、160501（2008）[ PRL链接，arXiv链接 ]

[34]：AN Soklakov，R。Schack，《量子位寄存器的有效状态准备》，《物理评论》 A 73，012307（2006）。[ PRA链接，arXiv链接 ]

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在不赘述细节的情况下，以上两种确实是分别用于实现有效的qRAM的方案。高效的状态准备，可重新创建状态$\left|x\right>$ 及时 $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$。

但是，这只能使我们走到现在：这可以用来创建状态 $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$，而我们想要所有可能的总和 $m$的。

至关重要的是 $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$ 是混合的，因此不能用单个纯状态表示，因此上述两个有关创建纯状态的参考中的第二个不适用，第一个要求该状态已经在qRAM中。

因此，作者做出了以下三种可能的假设之一：

1. 他们的设备恰好能为他们提供正确的输入状态

2. 他们要么有州 $\rho^{\left(m\right)}$ 在qRAM中

3. 他们可以使用上述参考文献的第二部分随意创建这些状态。然后使用量子通道（即完全正的迹线保留（CPTP）映射）创建混合状态。

暂时忘记上述选项中的前两个（无论如何第一个都能神奇地解决问题），频道可能是：

• 一个工程化的系统，因为它是为特定实例创建的，类似于模拟仿真。换句话说，您有一个物理通道需要花费一定的时间$t$（而不是一些时间上的复杂性）。这是“固定的系统与环境交互，不需要实现计算开销。”

• 通道本身是模拟的。Lu等人发表了一些论文，例如Bény和Oreshkov的量子通道近似模拟（arXiv链接 -看起来很透彻，但是我找不到任何时间复杂度陈述）。等人的实验性量子通道模拟（似乎不存在arXiv版本）以及Wei，Xin和Long的arXiv预印本在IBM的云量子计算机中进行有效的通用量子通道模拟，（按量子位数计算）$n=\lceil\log_2 d\rceil$）的时间复杂度为 $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$。也可以使用三角肌扩张，其复杂度为$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$。

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现在看选项2 ¹，一种可能更有效的方法是采用通常的方法将状态从地址寄存器传输到数据寄存器：对于寄存器中的地址$a$， $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$，将其传输到数据寄存器将给出数据寄存器中的状态 $d$ 如 $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$。应该可以简单地将地址和数据寄存器分解，以将其转换为混合状态，从而产生较小的时间开销，尽管没有额外的计算复杂性开销，但可以大大提高生成的复杂性$\rho$，给与状态的qRAM $\left|x^{\left(m\right)}\right>$，共 $\mathcal O\left(n\right)$。这也是创建状态的复杂性$\left|x^{\left(m\right)}\right>$ 首先，提供潜在（大大改善）的生产复杂性 $\rho$ 的 $\mathcal O\left(n\right)$。

^{1感谢@glS在聊天中指出了这种可能性}

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然后将该密度矩阵输入到“ qHop”（量子Hopfield）中，在其中用于模拟 $e^{-iAt}$ 对于

$$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$$ 根据第8页上的 “ A的有效哈密顿模拟 ”小节。