线性方程组的量子算法（HHL09）：步骤2-什么是？

^{这是方程式线性系统的量子算法（HHL09）的续集：步骤1-关于相位估计算法和方程式线性系统的量子算法（HHL09）的用法混淆：步骤1-所需的位数}。

在论文中：线性方程组的量子算法（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009），该部分的内容

下一步是使用相位估计[5-7]在特征向量的基础上分解。用表示（或等效地，）的特征向量，而用表示对应的特征值。 $|b\rangle$ $|u_j\rangle$ $A$ $e^{iAt}$ $\lambda_j$

页面上做一些有意义的我（的混乱截至出现了上面链接以前的职位阐述）。但是，下一部分，即旋转似乎有点神秘。 $2$ $R(\lambda^{-1})$

令
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
对于一些大型。选择的系数（根据[5-7]）以最小化出现在我们的误差分析中的某个二次损失函数（有关详细信息，请参见[13]）。 $T$ $|\Psi_0\rangle$

接下来，我们将条件哈密顿演化应用于，其中。 $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

问题：

1.到底是什么？什么和立场？我不知道这个巨大表达式突然来自哪里，它的用途是什么。 $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

2. 在阶段估计步骤之后，我们系统的状态显然是：

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

这肯定不能写为即

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

因此，很明显在第二个寄存器中不能单独使用。所以我不知道他们如何准备像的状态！此外，这是什么中的标分别表示？ $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

3.此表达式突然从哪里出现？模拟有什么用？什么是在？ $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— Sanchayan Dutta
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Answers:

1.定义

此答案中使用的名称和符号遵循量子线性系统算法中定义的名称和符号：底漆（Dervovic，Herbster，Mountney，Severini，Usher＆Wossnig，2018年）。召回如下。

1.1寄存器名称

寄存器名称在图5中定义.Quantum线性系统算法：引物（Dervovic，Herbster，Mountney，Severini，Usher＆Wossnig，2018）（如下所示）：

$S$ （1 qubit）是辅助寄存器，用于检查输出是否有效。
$C$ （量子位）是时钟寄存器，即用于通过量子相位估计（QPE）估计哈密顿特征值的寄存器。 $n$
$I$ （量子位）是存储方程右侧的寄存器。当算法末尾测得为时，它将存储，即方程式的结果。 $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2.关于： $\left|\Psi_0\right>$

到底是什么？ $\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$ 是时钟寄存器一种可能的初始状态。 $C$
什么和立场？ $T$ $\tau$

$T$ 代表一个大的正整数。该应该尽可能大，因为的表达式会渐近地使增长到无穷大的给定误差最小化。在的表达式中，将为，即量子时钟的可能状态数。 $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

$\tau$ 只是总和索引
为什么对这样巨大的表达？ $\left|\Psi_0\right>$

有关详细说明，请参见DaftWullie的帖子。

遵循Quantum算法对线性方程组的引用（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009 v3），我们得出以下结论：
1. 同一篇论文的前一版本是线性方程组的量子算法（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009 v2）。作者对该论文进行了2次修订（原始的HHL论文有3个版本），第3版不包含先前版本中提供的所有信息。在V2（从第17页开始的A.3。节）中，作者提供了针对这种特殊初始状态的错误的详细分析。
2. 最佳量子时钟（Buzek，Derka，Massar，1998年），其中的表达式在公式10中表示为。我不知道完全理解这一部分，但是在某种意义上，这个表达似乎是“最优的”。 $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

3.准备： $\left|\Psi_0\right>$

如前所述，是初始状态。他们不准备相位估计程序之后的。在本文中，句子排序并不是真正的最佳选择。他们在论文中使用的相位估计程序与第1部分中链接的量子电路中表示的“经典”相位估计算法有些不同，这就是为什么他们详细解释了它。 $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

他们的相位估计算法是：

在寄存器准备状态。 $\left|\Psi_0\right>$ $C$
将条件哈密顿演化应用于寄存器和（状态为）。 $C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
将量子傅立叶变换应用于结果状态。

最后，在表示状态存储在寄存器。这是一种简短方便的表示法，用于跟踪使用的寄存器。 $C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

4.哈密顿模拟：

首先，是矩阵的条件编号（“条件编号”的维基百科页面）。 $\kappa$ $A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ 是量子门的数学表示。

和中的第一部分是控制部分。这意味着操作将由第一个量子寄存器的状态（如指数告诉我们的寄存器的状态来控制。 $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

第二部分是“哈密顿模拟”门，即将给定的unit矩阵应用于第二寄存器（处于初始状态的寄存器的量子门）。 $e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

整个和是“ 1.定义”量子电路中受控U操作的数学表示，其中。 $U = e^{iA\tau t_0/T}$

— 尼利米
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$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ 为了回答您的第一个问题，我前段时间给自己写了一些笔记，说明我对它的工作原理的理解。表示法可能有点不同（我试图使它更多地符合要求，但很容易遗漏一些位），但是试图解释对状态。似乎还有些因素在浮动。 $|\Psi_0\rangle$ $\frac12$

当我们第一次研究相位估计时，我们通常会考虑将其用于某些特定算法（例如Shor算法）中。这有一个特定的目标：获得特征值的最佳位近似。您要么做，要么不做，并且相位估计的描述经过专门调整，以尽可能提高成功率。 $t$

在HHL中，我们尝试生成一些状态其中，利用相位估计。近似值的精度将在很大程度上取决于对接近0而不是远离0的特征值的准确估计。因此，一个明显的步骤是尝试修改相位估计协议，以便而不是使用固定宽度 “ bin” 来逼近的相位（，是相位估计寄存器中的量子位数），我们宁愿指定一组为

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$ 充当每个bin的中心，因此我们可以在接近0相的位置上大幅提高精度。更一般地，您可以指定一个折衷函数，以根据相位来容忍错误。然后，可以将此功能的精确性质调整到给定的应用程序，并使用特定的品质因数来确定成功。在Shor算法的情况下，我们的优缺点就是这种装箱协议-如果答案在正确的装箱中，而在外面没有成功，则我们是成功的。在HHL中将不是这种情况，HHL的成功可以通过诸如保真度之类的连续测量更合理地获得。因此，对于一般情况，我们将指定一个成本函数

ϕ

$\phi$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ 如果真实相位为则它指定对答案的惩罚。

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

回想一下，标准相位估算工作协议通过产生为所有基础状态的均匀叠加的输入状态对。此状态用于控制多个受控门的顺序应用，然后进行傅立叶逆变换。假设我们可以用其他状态替换输入状态然后其余协议可以像以前一样工作。现在，我们将忽略传递新状态有多困难的问题，因为我们只是试图传达基本概念。从这种状态开始，使用受控的 $\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$ 栅极（靶向的特征向量的本征值），产生的状态应用傅立叶逆变换产生得到答案的概率（即）为因此，假设的随机分布，成本函数的期望值为

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$ 我们的任务是为任何特定实现选择最小化幅度。如果我们简化假设只是一个函数，那么我们可以在积分中更改变量以给出正如我们指出的那样，最有用的度量可能是保真度度量。考虑我们有一个状态

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$ 并且我们希望实现单一的，但是我们实现的是。保真度可衡量完成目标任务的效果，所以我们取因为在理想情况下，所以我们希望将其最小化的误差可以视为。这肯定是评估任何的正确函数

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$ ，但是对于修改幅度的更一般的任务（不仅是相位），不精确的影响以较小的方式通过协议传播，因此尽管函数将在状态的统一叠加方面提供一些改进。继续执行此表格，我们得到现在可以对进行积分，因此我们希望将函数最小化可以简洁地表示为

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$ 其中的最佳选择是矩阵的最小特征向量，而是最小特征值至关重要的是，对于大，秤作为而不是，我们将从均匀的耦合已经得到选择

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$ 。这为误差分析带来了明显的好处。

如果要获得与HHL论文中相同的，我相信您必须添加术语至哈密顿量。但是，我没有理由这样做，但这可能是我的失败。 $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— 达夫·沃利
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线性方程组的量子算法（HHL09）：步骤2-什么是？

问题：

1.定义

1.1寄存器名称

2.关于：|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

3.准备：|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

4.哈密顿模拟：

2.关于： $\left|\Psi_0\right>$

3.准备： $\left|\Psi_0\right>$