如何在量子电路中实现矩阵指数？

也许这是一个幼稚的问题，但我无法弄清楚如何对量子电路中的矩阵求幂。假设有一个通用的方阵A，如果我想获得它的指数，$e^{A}$，我可以使用该系列

$$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$$

使其近似。我不知道如何使用量子门来做同样的事情，然后将其应用于例如汉密尔顿模拟。一些帮助？

重新编写您的问题：

如何对通用方矩阵执行汉密尔顿模拟 $A$？

快速解答：这是不可能的。

汉密尔顿模拟（HS）的目标是找到一个量子电路（即一系列门） $U(t) = e^{-iAt}$处于量子状态。这里$U(t)$ 需要是单一的（由于量子门的性质），所以 $e^{-iAt}$ 还需要统一。

因此HS算法仅适用于矩阵 $A$ 这样 $e^{-iAt}$是单一的。每个厄米矩阵都满足此属性，但并非每个generic square matrix都满足。根据您的问题，此限制可能是也可能不是问题，但如果出现以下情况，则不能使用HS：$e^{-iAt}$ 不是单一的。

例如，对于HHL算法（使用HS的$A$ 作为子例程） $Ax=b$如果 $e^{-iAt}$ 不统一，您可以考虑问题

$$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$$ 用HHL解决它（现在可以实现，因为新矩阵 $C$ 是hermitian）并恢复 $x$。

所以现在有趣的问题是：

如何对给定的厄米矩阵进行哈密顿模拟 $A$？

答案将取决于 $A$。

这是一个巨大的研究主题，关于它有很多话要说。我不会在这里介绍每种方法，因为它们相当复杂，我也不了解所有方法。以下是与HS相关的论文/演讲列表，从HS入手可能会很有趣：

1. 在小型量子计算机上模拟汉密尔顿动力学：关于HS的幻灯片。即使是演示文稿，这也是我在汉密尔顿模拟中找到的最完整的资源。它快速介绍了3种不同的方法，并为每种方法引用了有趣的论文。
2. 量子算法讲义（Andrew M.Childs，2017）：最近且相当完整。HS在第25章（第123页）中讨论。
3. 模拟稀疏哈密顿量的精度的指数提高：详细介绍了1中提出的3种方法之一。
4. 用于模拟稀疏哈密顿量的高效量子算法：详细介绍了1中提出的3种方法中的另一种。