如何证明/反驳一组门的通用性？

如果有足够的门，则通用门集可以模仿任何其他类型的门的操作。例如，一组通用的量子门是Hadamard（  $H$  ），$\pi/8$相移（  $T$  ）和$\mathrm{CNOT}$门。一个人如何反驳或证明诸如$\{H,T\}$，$\{\mathrm{CNOT},T\}$或$\{\mathrm{CNOT}, H\}$之类的一组门的普遍性？

普遍性可能是一件非常微妙的事情，很难证明。通常有两种选择来证明它：

• 使用您选择的门直接显示如何构造任意大小的任意unit元（对结构的大小没有任何限制，只是可以做到）以任意精度（在整个希尔伯特的一些非平凡子空间上）空间）。

• 展示如何将您选择的一组门用于重新创建（以任意精度）现有的通用集。

相反，如果您想证明这一点，则表明您可以始终通过（假定）较小的计算模型（通常是经典计算）来模拟一组门的效果。

您可以使用一些启发式方法作为指导：

• 您的集合中必须有一个多量子位门。如果您只有单量子位门，则可以在经典计算机上独立模拟每个量子位。因此，如果我们认为量子计算机比传统计算机更强大，那么单量子位门就不能用于量子计算。这排除了{H，T}。

• 您必须具有创建叠加的门。这排除了{CNOT，T}。同样，这是经典计算，并增加了不相关的全局阶段。

当然，这些条件还不够充分：{H，S，CNOT}集也可以得到有效模拟（请参阅Gottesman-Knill定理）。{H，CNOT}也必须是真实的，因为它们是一个子集，因此它们可以创建的操作不超过原始集合的操作。

我发现最有趣的通用集之一是{Toffoli，H}。这足以让我感到惊讶（尤其是当您与前一组进行比较时）。请注意，它不涉及任何复数。

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen and Chuang，第10周年纪念版，第191页：

$d$$n$$n$

第一句话有一个可接受的结果，因此您必须简单地证明门集的组合可以实现“任意两级level运算”。引用维基百科：

从技术上讲，这是不可能的，因为可能的量子门的数量是不可数的，而来自有限集的有限序列的数量是可数的。为了解决这个问题，我们只要求任何量子运算都可以由这个有限集合中的一系列门来近似。

另请参阅本文。