量子相位估计和HHL算法-需要特征值的知识吗？

的量子相位估计算法（QPE）计算相关联于一个量子门的一个给定的特征向量特征值的近似值。$U$

形式上，令为的特征向量，QPE允许我们找到，即的最佳位近似值，从而使并且 $\left|\psi\right>$$U$$\vert\tilde\theta\rangle$$m$$\lfloor2^m\theta\rfloor$$\theta \in [0,1)$

$$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$$

的HHL算法（原纸）作为输入的矩阵满足和量子态并计算编码线性系统的解。$A$

$$e^{iAt} \text{ is unitary }$$ $\vert b \rangle$$\vert x \rangle$$Ax = b$

备注：每个Hermitian矩阵都说明上的条件。$A$

为此，HHL算法在表示的量子门上使用QPE 。多亏线性代数结果，我们知道如果是的特征值，那么是的特征值。量子线性系统算法中也说明了这一结果：底漆（Dervovic，Herbster，Mountney，Severini，Usher＆Wossnig，2018年）（第29页，方程式68和69之间）。$U = e^{iAt}$$\left\{\lambda_j\right\}_j$$A$$\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$$U$

借助QPE，HLL算法的第一步将尝试估算使得。这使我们得出方程 即即 通过分析条件和，得出的结论是，如果（即），则相位估计算法无法预测正确的特征值。$\theta \in [0,1)$$e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

$$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ ķ ∈ Ž θ ∈ [ 0 ，1 ）λ Ĵ $$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ $k\in \mathbb{Z}$$\theta \in [0,1)$ķ≠$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$$k \neq 0$

但是由于可以是任何厄米矩阵，因此我们可以自由选择其特征值，特别是可以为选择任意大的特征值，以使QPE失败（）。甲λ Ĵ$A$$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

在求解线性方程组的量子电路设计（Cao，Daskin，Frankel＆Kais，2012）中，他们通过模拟解决这个问题，因为知道的特征值是。他们对矩阵（及其特征值）进行了规范化处理，以避免。甲{1，2，4，8}λĴ$e^{\frac{iAt}{16}}$$A$$\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

另一方面，似乎可以使用参数进行此归一化。$t$

问题：我们是否需要知道的特征值的上限才能对矩阵进行归一化，并确保HHL算法的QPE部分会成功？如果没有，我们如何确保QPE成功（即）？λ Ĵ$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

您应该知道特征值的界线（上限和下限）。正如你所说，你可以再正常化通过重新调整。确实，您应该这样做以获得最准确的估计，将值分布在整个范围内。限制特征值通常不是问题。例如，您可能要求矩阵是稀疏的，以便每行上没有太多非零矩阵元素。确实，问题说明可能会给您限制每行非零条目的数量，以及任何条目的最大值。吨λ 吨2 π 甲Ñ $A$$t$$\lambda t$$2\pi$$A$$N$$Q$

然后，您可以应用类似Gershgorin的圆定理的东西。这说明最大特征值由 限制，最小值由 的是矩阵元素。分钟我一个我我 - Σ Ĵ ≠ 我 | a i j | ≥-ÑQ。一个我Ĵ

$$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$$ $$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$$ $a_{ij}$$A$

在，的值内，如果您担心大型矩阵（例如量子位），虽然行总和可能易于计算（因为条目不多），但所有行的最大值可能会花费很长的时间时间（因为有行），将有多种方法获得良好的近似值（例如，采样或使用问题结构的知识）。最坏的情况是，您可能可以使用Grover的搜索来加快速度。Q n 2 $N$$Q$$n$$2^n$