模拟稀疏哈密顿量的优势

在@DaftWullie对这个问题的回答中，他展示了如何用量子门表示本文中用作示例的矩阵。但是，我认为在现实生活中的示例中不太可能具有如此结构良好的矩阵，因此，我正在尝试寻找其他方法来模拟哈密顿量。我在几篇文章中发现一个参考这一个通过的Aharonov和Ta-硕码，其中，除其他事项外，他们指出，有可能在模拟一些优势稀疏汉密尔顿。但是，在阅读了这篇文章之后，我还不了解如何进行稀疏哈密尔顿的模拟。该问题通常以图形着色的形式呈现，但也请查看呈现 @Nelimee建议阅读以研究矩阵幂运算，这全都通过产品公式落入了模拟。

举一个例子，让我们采用一个随机矩阵，例如：

一个 = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ 这不是埃尔米特式，但是使用Harrow，Hassidim和Lloyd的建议，我们可以从中构造一个埃尔米特式矩阵：

C = [\begin{matrix} 0 & 一个 \\ {一个}^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] 。

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

现在，我有了一个8x8、2稀疏厄米矩阵：

除了产品公式方法，我还可以通过其他方式模拟其演变吗？
即使使用乘积公式，如何利用它稀疏的事实呢？仅仅是因为非零条目较少，因此应该更容易找到基本门的乘积？

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
source

暗示稀疏矩阵有用的见解如下：对于任何，我们可以根据一组对其进行分解，这些的各个分量都通勤（使对角线化变得简单），如果矩阵稀疏，那么您不需要太多不同的。然后您可以模拟哈密顿进化其中。例如，在您的情况下，您可以 $H$ $H_i$

H = \sum_{一世 = 1个}^{米} H_{一世} 。

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

Ë^{- 一世 H Ť} = \prod_{Ĵ = 1个}^{ñ} Ë^{- 一世 H_{米} δ Ť} Ë^{- 一世 H_{米 - 1个} δ Ť} \dots Ë^{- 一世 H_{1个} δ Ť} ，

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1个} = \frac{1个}{4} X \otimes （ 18岁 一世 - 6 ž \otimes ž - 4 ž \otimes 一世 ） H_{2} = \frac{1个}{4} （ X \otimes （ 11 一世 + 5 ž ） \otimes X + ÿ \otimes （ 11 一世 + 5 ž ） \otimes ÿ ） H_{3} = \frac{1个}{4} （ 11 X \otimes X - ÿ \otimes ÿ ） \otimes （ 一世 - ž ）

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$ （3个术语对应于它是3稀疏哈密顿量的事实）。我相信这里有一个策略：您遍历哈密顿量的所有非零矩阵元素并将它们分组，以便如果我将其坐标写为（并且我始终包括其复共轭对），我会继续添加我的集合其他元素都不提供或等于或意思。这意味着对于稀疏哈密顿量，

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$ 不同的。

H_{i}

$H_i$

问题在于，这不一定在实践中直接起作用。一方面，仍然需要成倍地增加许多矩阵元素，但是设置方法总是如此。

人们解决这个问题的方法是建立一个神谕。一个可能的oracle本质上是函数，该函数返回行上的个非零条目的位置和值。可以将其内置到完整的量子算法中。关于此主题的论文很少（到目前为止，我还没有完全理解）。例如，在这里和这里。让我尝试粗略地描述它们的工作方式。 $f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

第一步是将哈密顿量分解为一组unit乘以正比例因子：为简单起见，我们假设。可以假定您得到了这种分解。然后定义一个操作（由受控和受控），该操作实现。如果我们在控制量子位上输入特定状态（直至归一化），则应用，然后测量控制量子位，然后对其进行选择 $\alpha_i$

H = \sum_{一世} α_{一世} ü_{一世}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$ ，然后如果后选择成功，我们将实现，发生的可能性至少为。您可以对多个项进行完全相同的操作，甚至对哈密顿量的指数也可以做同样的事情（考虑级数展开），尽管在实践中会基于贝塞尔函数使用一些更好的级数展开。

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— 达夫·沃利
source

仅有两件事我不理解：1）当您说总是包含复数共轭对时，您是什么意思？2）甲骨文提供的职位知识应该以什么方式帮助我们？通过帮助我们确定代表分解的哈密顿量的of的集合？

— FSic

@ F.Siciliano（2）oracle的知识很有帮助，因为它使您可以只处理矩阵的非零元素，而不必遍历矩阵的每个元素以找出哪些非零元素。

— DaftWullie '18年

@ F.Siciliano（1）由于是Hermitian，所以如果您知道元素（i，j）的值为那么您知道元素值为。您还知道拆分时必须将其包含在相同的汉密尔顿术语中，因为这些术语也必须是Hermitian。

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$

— DaftWullie '18年