量子计算机可以轻松确定魔方的混合时间吗？

魔方锦标赛的官员使用了两种不同的方式来争夺立方体。目前，他们打散的立方体，并以随机的顺序重新组装cubies $\pi\in G$魔方组$G$。以前，它们将适用的随机序列$g$的辛马斯特移动$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$。

$t$$g$20 吨⟨ ü ，d ，˚F ，乙，大号，- [R $\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

量子计算机对确定魔方的混合时间有什么好处吗？$t$

我认为我们可以有一些巧妙的Hadamard移动顺序来创建一个寄存器$\vert A \rangle$作为所有$\Vert G\Vert$这样的配置上的统一叠加；因此，将Singmaster的任何顺序应用于$\vert A \rangle$都不会更改$\vert A \rangle$。

如果我们猜测混合时间是，我们还可以创建另一个寄存器作为长度为的所有Singmaster单词的均匀叠加，并有条件地将每个这样的单词应用于已求解状态，希望得到一个状态这样，如果我们测量，则每个配置都可能被测量。如果，那么我们将不会沿着的Cayley图走足够长时间，并且如果我们要测量 Ť | 乙⟩ 牛逼“ | 一个“ ⟩ | 乙⟩ | 一个⟩ | 甲⟩ ‖ ģ ‖ 吨' < 吨ģ | 一个⟩ | 乙⟩ | 一个$t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$，更可能接近解决状态的配置。在上进行一些巧妙的傅立叶式变换可能可以测量均匀分布。$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

对我来说，这就像量子计算机可能擅长的事情。例如，如果尚未被的所有单词均匀地混合，则某些配置比其他配置更有可能，例如，更“恒定”。反之，如果已被所有完全混合，则更“平衡”。但是我对量子算法和马尔可夫链的理解还不够强大，无法深入研究。| 乙⟩ | 一个⟩ | 一个⟩ | 一个$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

编辑

将此问题与量子结验证问题进行对比。

在量子结验证中，为商人提供一个量子硬币，作为具有特定不变性的所有结的状态。为了验证量子硬币，她应用了一个马尔可夫链将过渡到自身（如果它是有效的硬币。）她必须应用该马尔可夫链并至少测量次结果，否则她具有没有办法独自构造（除非她能伪造硬币。）因此，如果给了她有效的硬币，她将处于无法独自生产的状态，并附带一个马尔可夫链。矩阵，她大概知道混合时间中号| ķ ⟩ Ť | ķ ⟩ 中号Ť | ķ $\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; 她需要测试是否有效。$\vert K \rangle$

在当前问题中，生成所有Rubik立方体置换的可能很容易。Singmaster运动的与马尔可夫链相对应的量子电路可能也很容易构建。然而，混合时间是未知的，并且是待确定的一件事。小号$\vert RC \rangle$$S$$t$

这是一个有趣的问题，它比大多数“ x是否有量子算法？”要好。问题。我不知道现有的量子算法。让我描述一下我认为将是典型的首次尝试以及失败的原因。最后，我将描述可能导致一些改进的几件事。

第一次尝试算法

假设我要测试特定的混合时间。我将创建一个寄存器以包含足够的工作空间来容纳Rubik多维数据集的任何可能配置。其初始状态是与多维数据集的初始状态相对应的产品状态。- [R $t$$RC$

然后我会做附属物登记，到。这些中的每一个都与Singmaster可能移动的数量相同，并且准备为所有可能的基础元素上的统一叠加。然后，对于每个，我们从到应用一个受控，其中寄存器指定在上应用哪个Singmaster移动。A 1 A t i = 1 ，… t A i R C A i R $t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

毕竟，如果仅查看，则根据需要进行混合时，它应该处于最大混合状态。问题是如何测试此输出是否为最大混合状态。有一些有用的技术，例如这一技术，但是我们需要什么精度（即重复多少次？）。我想，我们需要大约来确定。| A | $RC$$|A|^t$

实际上，这种处理方式与传统方式一样糟糕：您可以用替换每个的初始状态，并且不会改变结果。但这实际上就像每次随机选择并运行多次，检查输出是否正确分配一样。我/ 2 | 一个我$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

可能的改进

• 按照我的描述运行，输出密度矩阵（在）必须为对角线。这意味着，当且仅当系统被最大程度地混合时，所有基本状态上的均匀叠加才是本征状态。如果有人可以将此观察结果与某种幅度放大相结合，以获得较慢的加速效果，那我就可以了。需要注意的是从建立起来的差异非常迅速如果状态不是一个特征向量。ř Ç | ü ⟩ ρ ķ | ü ⟩ | 你$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• 除此之外，您可能还需要对辅助寄存器进行更智能的处理。有人希望这样做有可能，因为在Rubik的多维数据集中内置了很多组结构。有一两件事你可以尝试，就是看你是否能代替所有了单个寄存器附属物登记，在每一轮的受控unitaries之间的寄存器的每个量子比特应用Hadmard门。与我最初的建议相比，这样做可能是在qubit数量方面为您节省了效率。它甚至可能不会这样做。$t$

这些都不是直接起作用的，我不知道。不过，我认为关键原则是找到一些有用的组结构，并找到一种可以应用幅度放大的方法。

您可能会发现通读单一设计很有用。与我们在此讨论的相比，这当然是一个明显的问题，但是某些技术工具可能会有用。粗略地说，这个想法是一组if是一个设计，如果这些unit的随机应用可以使输出函数模拟一个真正的随机unit（从Haar测度得出），则在使用泰勒级数直到度都精确。这里的近似联系是，如果您将表示 Singmaster移动序列的unit元作为，则该集合为2设计就足够了（如果得到$\{U\}$˚F 吨吨{ ù } Tr的（ρ 2$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$正确，您已经完成）。

（CW避免自我回答代表）

有可能是双方缩小在价值互动的方式，上@ DaftWullie答案，并@Steven Sagona的评论跟进。我的形式主义很差，但我希望这个主意能够通过...$t$

例如，呼叫两方爱丽丝和鲍勃。各方必须合作，并按照协议诚实行事。

爱丽丝知道如何准备两个状态，和。在这里，是所有Rubik立方体组合上的均匀叠加，是具有相同量子位数的其他一些猴子状态（例如与已解决的Rubik立方体对应的状态，或均匀叠加）在某个大子组上）。 鲍勃（Bob）知道如何将矩阵应用于量子状态，其中对应于所有Singmaster运动的单个步骤（适当时带有ancillas）。| 一个1 ⟩ | 一0 ⟩ | 阿1 ⟩ ģ 中号$\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）想要证明在Singmaster运动下，魔方组的混合时间最多为。爱丽丝和鲍勃重复以下次。[R $t$$r$$s$

1. 爱丽丝（Alice）掷硬币，并将给Bob| 爱我$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. 鲍勃重复次以将应用于，并每次测量投影仪。M | 爱我$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. 如果对于次迭代中的每一个，投影仪均为，则Bob表示。如果在至少次迭代中投影机的投影机不为，则鲍勃说爱丽丝的。r i = 0 1 r i = $1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

如果，则步骤2中Bob的次迭代中的每个迭代都不会更改因为按照定义，是Bob矩阵的本征态，而Bob矩阵只是将状态相互置换。如果，那么猴子状态是不是 Bob的投影机的本征态，而一有机会将无法测得与快速增长。 r | 一0 ⟩ | 甲0 ⟩ 我= 1 | 阿1 ⟩ 1 $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

因此，如果Bob准确地预测了次迭代的，则成功的概率会随着呈指数增长，而Bob的足够大，可以将有效的Rubik立方体状态与猴子状态区分开。小号小号$i$$s$$s$$r$

我不知道与必须相距多远。我也不知道是否可以删除互动。| 一0$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

首先，让我们考虑一些寄存器和运算符。

1. 寄存器，它编码立方体的状态的叠加（例如，立方体的排列）；$\vert A\rangle$$G$
2. 运算符作用于以将全0的ket映射到所有状态上的一致叠加；$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. 寄存器，它编码一组将要应用于给定位置的Singmaster移动的叠加（例如，Singmaster单词的叠加）长度为移动）;$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. 运算符和，作用于以将全0的ket映射为Singmaster长度为的所有单词的一致叠加（反之亦然）；和$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. （受控）运算符，将Singmaster移动移至给定的立方体位置。$W$$b$

如果在所有元素上均匀叠加，则处于的本征态，并且不会重复踢回来影响。$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

也就是说，应该将上述电路中的返回到全零位ket。$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

然而，正如@DaftWullie指出，如果是不是在本征态，然后之间的差异和建立起非常迅速 -我相信一个速度，其这种差异的形成正好取决于感兴趣的操作者的混合特性。$\vert u\rangle$$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

因此，如果我们能够准备受均匀分布干扰的状态，使得不是本征态，则重复应用将迅速建立差异，并且可能不是全零值ket。$\vert A\rangle$| 一个⟩ w ^ V - 1 | 乙⟩$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

如果我们有一个作用于的函数和一个答案qubit来确定例如是否散列魔方位置的小于某一阈值，并且我们使用这个来控制的旋转，然后我相信该在上面的电路不会读取全零位ket，而是可能仅以以及Rubik多维数据集组与Singmaster生成集的混合时间而偏离全零位ket 。$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$V - 1 | 乙⟩ δ$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

也就是说，我希望上述电路中测量结果将显示为 或类似的值，其中前的索引仅取决于混合时间和阈值。$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$1 δ$1$$\delta$