卷积的量子算法

我一直在研究量子计算在机器学习中的应用，并从2003年开始遇到以下预印本。量子卷积和相关算法在物理上是不可能的。该文章似乎未在任何期刊上发表，但已被引用数十次。

本文作者认为不可能计算量子态的离散卷积。直觉上，这对我来说似乎是不正确的，因为我知道我们可以执行量子矩阵乘法，而且我知道离散卷积可以简单地构造为与Toeplitz（或循环）矩阵相乘。

他的论证的症结在于，对于两个向量的元素（Hadamard）乘积，no运算子没有可实现的组合。

我的断线在哪里？我们有什么理由总体上不能为量子计算机中的离散卷积构造Toeplitz矩阵吗？

还是该文章不正确？我已经解决了作者在证明引理14中提出的矛盾，这对我来说似乎很有意义。

如果您的输入信号具有特定的结构，则实际上可以在量子计算机上执行卷积（并且对此事以指数方式更快）。但是对于一般的输入来说，这似乎具有挑战性，甚至在物理上是不可能的，这就是本文所要论证的。

考虑如何计算两个离散信号的卷积 $f$ 和 $g$经典地。您可以对两个信号进行傅立叶变换，对所得矢量进行逐点乘法，然后进行逆傅立叶变换：

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

注意，傅立叶变换在量子计算机上是非常便宜的操作。因此，这似乎很棒。问题在于两个向量的逐点乘法不是那么容易。让我们看看哪些因素决定了这一点。

假设我们很幸运，并且傅立叶谱 $f$ 原来是平坦的：

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

在这种情况下，您的量子计算机可以执行对角矩阵运算，从而为您提供逐点乘法：

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

然而，在一般情况下，找到两个向量的逐点乘法的量子算法在物理上可能是不可能的。这是因为该操作通常是非单一的。举一个简单的例子，假设$f$ 是一个尖峰函数，在大多数情况下为零：

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ 此状态与另一状态的逐点乘法是不可逆的（由于零），因此不是单一的。

已经进行了先前的工作来发现导致平坦或接近平坦傅立叶光谱的函数，因此很容易将其卷积：

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

我对此结果高度怀疑。如果看定理16，它声称没有可实现该映射的操作

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ 直到规范化。但是，请考虑测量运算符 $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ 这显然实现了所需的图（针对该特定测量结果）。此外，其实现非常简单。有一个可以映射的单一（实际上是广义的受控非） $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ 这样您就可以测量第二次旋转，并在获得0结果后进行选择。这似乎使论文的证明无效。