从量子误差校正的角度看Clifford运算的意义

在有关QECC的文献中，克利福德门的地位很高。

考虑以下示例证明了这一点：

• 在学习稳定器代码时，您将分别研究如何执行编码的Clifford门（即使这些门不适用于横向）。QECC的所有入门资料都强调对量子代码执行编码的Clifford操作。否则，也要强调Clifford门（即，即使不以量子代码执行编码的Clifford门）。

• 魔术状态蒸馏*的整个主题基于某些操作（包括Clifford门的性能）的分类为低成本操作，而例如，执行Tofoli门或 $\pi/8$门，因为成本较高。

可能的答案：

1. 这在文献中的某些地方是合理的，例如Gottesman的博士学位论文和他的许多论文，以及https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025。在这些地方给出的原因是，可以对某些稳定器代码横向执行某些Clifford门（典型的容错操作）。另一方面，在量子码上找到非Clifford门的横向应用并不容易。我自己尚未对此进行验证，仅是按照Gottesman在其博士中所作的陈述进行。论文和一些评论文章。

无法在量子代码上横向执行编码后的门将立即增加在代码上执行所述门的成本。因此，表现出色的克利福德门属于低价类别，而非克利福德门则属于高价类别。

2. 从工程的角度来看，重要的是确定量子计算基本单元的标准列表（状态准备，门，可观测的测量/基础）等。执行Clifford门在该列表上可以方便选择，因为多种原因（最著名的通用量子门集包括许多Clifford门，Gottesman-Knill定理**等）。

这是我想起的Clifford组为何在QECC研究中地位如此之高的两个唯一原因（尤其是在学习稳定器代码时）。两种原因均源于工程学的观点。

因此，问题是能否确定其他原因，这些原因并非从工程学角度出发？Clifford Gates还扮演其他重要角色吗？

可能的其他原因：我知道Clifford小组是Unitary小组中Pauli小组的规范化者（在 $n$量子位系统）。而且，它具有半直接产品结构（实际上是半直接产品组的投影表示）。这些关系/属性本身是否给出了另一个理由，应与稳定剂代码一起研究Clifford组？

*请随时纠正。**这说明仅限于某些操作，您无法获得量子优势，因此，您需要的资源比最初限制自己的操作集要多一些。

在稳定器代码中，无论是横向还是通过代码变形，Clifford操作通常都很容易容错。原因与您想像的完全一样：这些闸门与Paulis之间的特殊关系，因为后者用于定义稳定器代码。

可以使用代码获得非Clifford门，但是必须付出一定的代价。具体而言，代码的几何位置与它们可以横向执行的门之间存在关系。因此，如果只允许您在2D晶格（例如表面或颜色代码）上执行最近的邻居控制的门，则只能使用Cliffords。有关更多信息，请参见此类论文。

我们可以从稳定器代码中期待容错Cliffords的事实随后被置于综合通用门集的技术的核心。因此，如果有一种以非容错方式创建非稳定器编码状态的方法，我们就会知道如何使用逻辑克利福德方法对其进行清理。为了将这些状态转换为旋转，我们使用逻辑Cliffords。因此，如果您有代码并希望应用所有这些现成的结果，则最好找到容错的Cliffords。或者，如果您无法全部管理，则至少是Paulis，H和CZ或CNOT。