相对于Oracle将NP与BQP分开

我在看这份讲义时，作者对$\mathsf{BQP}$ 和 $\mathsf{NP}$。他暗示了“如何使用标准对角线化技术来实现这一严格要求”。

有人可以详细说明应该使用的对角化技术吗？从直觉上讲，用于将事物放入经典复杂性类的那些和用于将事物置于经典复杂性类的那些之间应该有重要的区别$\mathsf{BQP}$。具体来说，鉴于Grover的算法是最佳算法，我正在寻找一种对角化技术，以便我们可以构建一个$A$ 为此 $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$。

在我看来，是可以使用的对角化参数只能从一个标准略有不同，例如，  如可以在这些可以找到有关贝克-吉尔- Solovay定理讲义（即，有预言针对 ，并且还预言为其）。基本上，您必须描述如何稍微不同地“设计”对抗性输入。$A$$\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$$A$$\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$

下面是我们如何可以使用这种方法来证明一个oracle存在针对。对于任何oracle，定义语言 很显然，，原因很简单，一个非确定性图灵机可以检查输入是否为形式的一些，然后猜测的字符串为其中如果这样存在。目的是证明$A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$$A$

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ $L_A \in \mathsf{NP}^A$$1^n$$n$$z \in \{0,1\}^n$$A(z,0) = (z,1)$$z$$L_A$在搜索问题上使用下界，不能由一个统一的circuit族电路在具有多项式的带误差的时间内确定。$O(2^{n/2})$

1. 令使得在位输入的oracle 上的搜索问题至少需要 oracle查询才能正确决定（概率至少为2/3），对于所有。$c,N > 0$$n$$c 2^{n/2}$$n > N$
   
   

2. 让，，是所有单一的oracle电路族的枚举，这样门序列电路作用在位输入上的时间可以严格小于。（此时间范围与“均匀性”条件有关，在该条件下，我们将对确定性图灵机可以在多项式时间内计算电路感兴趣-比我们在此处强加的条件。可以对这些电路族进行枚举，因为例如，通过确定性图灵机间接表示它们$\mathbf C^{(1)}\!$$\mathbf C^{(2)}\!$$\ldots$$\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$$C^{(k)}_n\!$$n$$c 2^{n/2}$$\mathbf T^{(k)}$其中产生它们的栅极序列，和列举的那些）。我们枚举电路家庭使得每个电路家族在枚举无限经常发生。

   • 从对门序列的描述的运行时界出发，尤其得出结论：对于所有，数少于门，尤其是少于查询到oracle。$C^{(k)}_n$$c 2^{n/2}$$k$$c 2^{n/2}$

   • 对于任何，请考虑电路。从搜索问题的下限可以知道，对于，oracle函数可能存在以下值：oracle 评估的，例如的概率为2/3，则由产生的输出在输入上不是是否的正确答案 。$n$$C^{(n)}_n\!$$n > N$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$C^{(n)}_n\!$$1^n$$\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$

   • 对于每个，选择这样的函数，以这种方式“失败”。$n > N$$f_n$$C^{(n)}_n$
     
     

3. 假设是一个预言，它在大小为输入上计算。$A$$n > N$$f_{\!\!\:n\!\:}$

以这种方式构造了，每个电路族不能正确地以至少2/3的概率正确地确定，其中（实际上是无限多的）。然后，没有一个电路族在所有输入上正确确定的成功概率在2/3以下，因此在时间构造的任何统一电路族都无法用这样的边界来求解。$A$$\mathbf C^{(n)}$$L_A$$n > N$$n$$\mathbf C^{(k)}$$L_A$$L_A$$p(n)$

因此，，从中得出，。$L_A \notin \mathsf{BQP}^A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$