似乎量子计算通常被认为是指量子电路的计算方法，其中量子位电路作用于一个量子位寄存器，并在输出端（可能在某些中间步骤）进行测量。量子退火至少似乎是与使用量子资源¹进行计算的完全不同的方法，因为它不涉及量子门。

有什么不同的量子计算模型？是什么使它们与众不同？

为了澄清，我不是在问量子比特有什么不同的物理实现，我的意思是描述如何使用量子资源从输入²计算输出的不同思想。

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_{1.任何本质上非经典的东西，例如纠缠和连贯。
2.将输入（例如量子位）转换为输出（计算结果）的过程。}

绝热模型

这种量子计算模型受量子多体理论中的思想启发，与电路模型（因为它是连续时间模型）和连续时间量子游走（因为它具有时间依赖进化）。

绝热计算通常采用以下形式。

1. 从一组qubit开始，它们都处于某些简单状态，例如$\lvert + \rangle$。调用初始全局状态$\lvert \psi_0 \rangle$。
2. 受到这些量子比特的相互作用哈密顿为此| ψ 0 ⟩是唯一的基态（具有最低能量的状态）。例如，给定| ψ 0 ⟩ = | + ⟩ ＆CircleTimes; Ñ，我们可以选择ħ 0 = - Σ ķ σ （X ） ķ。$H_0$$\lvert \psi_0 \rangle$$\lvert \psi_0 \rangle = \lvert + \rangle^{\otimes n}$$H_0 = - \sum_{k} \sigma^{(x)}_k$
3. 选择最终的哈密顿量，它具有唯一的基态，该基态对您感兴趣的问题的答案进行编码。例如，如果要解决约束满足问题，则可以定义哈密顿量H 1 = ∑ c h c，其中总和接管经典问题的约束c，并且每个h c是对表示不满足约束c的经典分配的任何标准基态施加能量损失（正能量贡献）的算子。$H_1$$H_1 = \sum_{c} h_c$$c$$h_c$$c$
4. $T \geqslant 0$$H(t)$$H(0) = H_0$$H(T) = H_1$$H(t) = \tfrac{t}{T} H_1 + (1 - \tfrac{t}{T})H_0$
5. 对于时间到，允许系统在连续变化的哈密顿量下演化，并测量输出处的量子位以获得结果。$t = 0$$t = T$$H(t)$$y \in \{0,1\}^n$

绝热模型的基础是绝热定理，其中有多个版本。Ambainis和Regev [  arXiv：quant-ph / 0411152  ]的版本（更严格的示例）表示，如果的基态与其基态之间始终存在至少的“能隙” 所有的一阶激发态，并且的一阶和二阶导数的算子范数足够小（即$\lambda > 0$$H(t)$$0 \leqslant t \leqslant T$$H$$H(t)$（变化不会太快或突然）），则只需通过足够缓慢地运行计算，就可以使所需的输出尽可能大。此外，仅通过将多项式相关因子减慢整个计算速度，就可以将误差概率降低任何恒定因子。

尽管表示形式与单电路模型有很大不同，但已证明该模型在多项式时间上等同于单电路模型[  arXiv：quant-ph / 0405098  ]。绝热算法的优点是它提供了一种构造量子算法的不同方法，该方法更适合于优化问题。缺点之一是目前尚不清楚如何保护它免受噪声影响，或者说说在不完善的控制下如何降低其性能。另一个问题是，即使系统中没有任何缺陷，要确定运行算法以得到可靠答案的速度也是一个困难的问题-它取决于能隙，而且通常很难说出能量是多少。间隙用于静态哈密顿量$H$，更不用说随时间变化的。$H(t)$

尽管如此，这是一个既具有理论意义又具有实践意义的模型，其区别在于与任何现有的单一电路模型都存在最大差异。

基于测量的量子计算（MBQC）

这是执行量子计算的一种方法，它使用中间测量作为驱动计算的一种方法，而不仅仅是提取答案。这是“带有中间测量的量子电路”的特例，因此功能不再强大。然而，当它被引入时，它颠覆了许多人关于transformation变换在量子计算中的作用的直觉。在此模型中，存在如下约束：

1. 一个人准备或给出一个非常大的纠缠状态-可以通过让一组最初全部准备成状态的量子位然后描述一些受控Z操作来描述（或准备）一个纠缠状态，根据图的边沿关系（通常是矩形网格或六角形网格）在成对的qubits上执行。$\lvert + \rangle$$\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$
2. 对这些量子位执行一系列测量-某些测量可能是基于标准的，但大多数不是基于标准的，而是测量可观测值，例如用于各种角度。每次测量产生的结果为或（通常分别标记为“ 0”或“ 1”），并且角度的选择允许以简单的方式取决于先前测量的结果（以经典方式计算的方式）控制系统）。$M_{\mathrm{XY}}(\theta) = \cos(\theta) X - \sin(\theta) Y$$\theta$$+1$$-1$
3. 可以从测量的经典结果计算出计算的答案。$\pm 1$

与单一电路模型一样，可以为该模型考虑多种变化。但是，核心概念是在大的纠缠状态或已经历一系列换向和可能纠缠操作的状态下执行的自适应单量子位测量，这些操作可以一次或分阶段进行。

通常认为这种计算模型主要是作为模拟单一电路的一种方法。因为它通常被视为模拟更喜欢和更简单的计算模型的一种手段，所以从理论上讲，对于大多数人来说，它不再是很有趣的事情。然而：

• 作为IQP类背后的激励概念，这是非常重要的，它是证明量子计算机难以模拟的一种手段，而Blind Quantum Computing是尝试解决使用量子资源进行安全计算中的问题的一种方法。

• 没有理由将基于测量的计算从本质上限制在模拟单一量子电路上：在我（以及少数其他少数理论家）看来，MQBC可以提供一种描述有趣的计算基元的方式。虽然MBQC只是具有中间测量值的电路的一种特殊情况，因此可以通过仅具有多项式开销的单一电路进行模拟，但这并不是说单一电路必定是一种非常有成果的方式来描述一个人可以做的任何事情在基于度量的计算中（就像经典计算中存在命令式和函数式编程语言一样，彼此之间有点不自在）。

问题仍然在于，MBQC是否会提出任何关于构建算法的思考方式，而这种方式就单一电路而言不那么容易提出-但是，除了特定的资源和适用性之外，毫无疑问比单一电路具有计算优势或劣势的问题。一些架构。

单一电路模型

这是最著名的量子计算模型。在此模型中，存在如下约束：

1. 一组初始化为纯状态的量子位，我们将其表示为；$\lvert 0 \rangle$
2. 一个对它们执行的unit变换序列，它可能取决于的经典位串；$x\in \{0,1\}^n$
3. 在计算的最后阶段以标准为基础进行一次或多次测量，得出经典输出字符串。（我们不需要：例如，对于是/否问题，无论的大小如何，通常都需要。）$y \in \{0,1\}^k$$k = n$$k = 1$$n$

次要细节可能会更改（例如，可能执行的一组set；是否允许在其他纯状态下进行准备，例如，，；是否必须在测量中标准基础或也可以基于其他基础），但是这些没有本质上的区别。$\lvert 1 \rangle$$\lvert +\rangle$$\lvert -\rangle$

离散时间量子行走

“离散时间量子游动”是随机游动上的量子变化，其中存在一个“沃克”（或多个“沃克”），该沃克在图形中采取小步长（例如，节点链或矩形网格） ）。不同之处在于，在随机行进器沿随机确定的方向迈出一步的情况下，量子行进器沿由量子“代币”寄存器确定的方向迈出一步，该寄存器在每个步骤中都通过单一变换“翻转”而不是改变通过对随机变量重新采样。有关 早期参考，请参见[  arXiv：quant-ph / 0012090 ]。

为了简单起见，我将描述一个大小为的循环上的量子；尽管必须更改一些细节才能在更一般的图上考虑量子游动。在这种计算模型中，通常执行以下操作。$2^n$

1. 在某些状态下，例如，在量子位上准备一个“位置”寄存器，以及一个“ coin”寄存器（具有标准基础状态，我们用和）处于某个初始状态，该状态可能是两个标准基态的叠加。$n$$\lvert 00\cdots 0\rangle$$\lvert +1 \rangle$$\lvert -1 \rangle$
2. 执行一个连贯的受控unit变换，如果硬币处于状态，其加到位置寄存器的值（模），然后将位置寄存器的值减1（模）），如果硬币处于。$2^n$$\lvert +1 \rangle$$2^n$$\lvert -1 \rangle$
3. 对硬币寄存器执行固定的ary变换这起着“硬币翻转”的作用，以确定下一步的方向。然后，我们返回到步骤2。$C$

这种行走与随机行走之间的主要区别在于，行走器的不同可能的“轨迹”是以叠加方式连贯地执行的，因此它们会产生破坏性的干扰。这导致步行者的行为更像是弹道运动而不是扩散。的确，费恩曼（Feynmann）曾对这种模型进行过早期展示，以此作为模拟狄拉克方程的一种方法。

通常也通过在图中寻找或定位“已标记”元素来描述该模型，在这种情况下，执行另一步骤（计算步行者所在的节点是否被标记，然后测量该计算结果），然后返回到步骤2。此类其他变体是合理的。

为了在更一般的图形上执行量子游走，必须用可以表示图形所有节点的“位置”寄存器替换，并用可以表示入射到顶点的边的“ coin”寄存器替换“硬币”寄存器。然后，“投币算子”也必须替换为允许步行者执行不同轨迹有趣叠加的算子。（什么才是``有趣的''取决于您的动机是什么：物理学家经常考虑改变硬币算子来改变概率密度的演变的方法，而不是出于计算目的，而是作为使用量子行走作为基础探索基本物理学的一种方式）。合理的粒子运动玩具模型。  离散时间量子行走。

严格来说，这种计算模型是单一电路模型的一种特殊情况，但是它受非常具体的物理直觉的激励，这导致了 在有限误差下多项式时间加速的一些算法见解（例如，参见[  arXiv：1302.3143 ]）量子算法。该模型还是连续时间量子游走作为计算模型的近亲。

带有中间测量的量子电路

这是对“单一电路”的细微变化，其中一个允许在算法的中间以及最后进行测量，并且还允许将来的操作取决于这些测量的结果。它代表了与经典控制设备进行交互的量子处理器的逼真的图像，其中该控制设备尤其是量子处理器与人类用户之间的接口。

中间测量实际上是执行纠错所必需的，因此，从原理上讲，这比单电路模型更实际地描述了量子计算。但是某种类型的理论家强烈希望保留测量直到结束（使用延迟测量原理来模拟任何“中间”测量）并不少见。因此，在谈论量子算法时，这可能是一个重大区别-但这并不会导致量子算法的计算能力在理论上有所提高。

量子退火

量子退火是量子计算的模型，粗略地说，它概括了绝热计算模型。由于D-WAVE在该主题上的工作，它引起了流行的和商业的关注。

确切地说，量子退火的组成并不像其他计算模型那样明确，主要是因为它比计算机科学家更受量子技术专家的关注。概括地说，我们可以说，通常人们是出于工程师的动机而不是数学家的动机来考虑它的，因此该主题似乎具有很多直觉和经验法则，而很少有“正式”的结果。实际上，在回答我有关量子退火的问题时，Andrew O 甚至说：“ 如果不考虑算法和硬件，就无法定义量子退火“。尽管如此，“量子退火”似乎定义得足够好，可以描述为一种用特定技术解决量子技术问题的方法，因此尽管进行了Andrew O评估，但我认为它体现了一些隐式定义的计算，我将在这里尝试描述该模型。

模型背后的直觉

量子退火的名称是从（经典）模拟退火的松散类推。它们都以最小化系统能量的方式表示，以哈密顿量表示： 通过模拟退火，基本上可以对“局部”变量的可能赋值执行随机游动，但实际进行转换的可能性取决于

$$\begin{aligned} H_{\rm{classical}} &= \sum_{i,j} J_{ij} s_i s_j \\ H_{\rm{quantum}} &= A(t) \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i^z \sigma_j^z - B(t) \sum_i \sigma_i^x \end{aligned}$$ $s_i \in \{0,1\}$

• 在每个步骤的前后，两个“配置”（对变量的初始和最终全局赋值）之间的“能量”差异。步行;$\Delta E = E_1 - E_0$$\{s_i\}_{i=1}^n$
• “温度”参数决定了允许步行执行具有的随机步行的步骤的概率。$\Delta E > 0$

首先从处于“无限温度”的系统开始，这最终是一种幻想的说法，即不管能量的增加或减少，您都可以进行所有可能的过渡。然后，您可以按照一定的时间表降低温度，以便随着时间的流逝，增加能量的状态变化的可能性越来越小（尽管仍然可能）。极限是零温度，在该温度下，任何降低能量的跃迁都是允许的，但是任何增加能量的跃迁都被禁止。对于任何温度$T > 0$，将有一个稳定的分配分布（“热状态”），这是“无限”温度下的均匀分布，并且随着温度降低，该分布越来越受全局最小能量状态的影响。如果您花费足够长的时间将温度从无穷降低到接近零，则原则上应保证找到一个针对能量最小化问题的全局最优方法。因此，模拟退火是解决优化问题的一种方法。

通过归纳Farhi 等人的工作来激发量子退火。关于绝热量子计算[ arXiv：quant-ph / 0001106 ]，其思想是考虑当在绝热状态下哈密顿量不一定演化时会发生什么演化。与经典退火类似，开始于一种配置，在该配置中，某些问题的“经典分配”以均匀分布出现，尽管这次是相干叠加而不是概率分布：例如，在时间，设置 在这种情况下均匀叠加$t = 0$

$$A(t=0) = 0, \qquad B(t=0) = 1$$ $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}\ket{\psi_0} \propto \ket{00\cdots00} + \ket{00\cdots01} + \cdots + \ket{11\cdots11}$是量子哈密顿量的最小能量状态。一个装载机这个“分配”（即  该量子系统的状态）到一个其在很大程度上受到缓慢演进系统的加权的低能量构型-通过缓慢地改变磁场强度和一些最终值 同样，如果这样做足够缓慢，您将可能成功获得这样的全局最小值。该绝热政权描述了有条件足够$A(t)$$B(t)$ $$A(t_f) = 1, \qquad B(t_f) = 0.$$ 为此，由于在所有中间时间都保持哈密顿量的基态（非常接近）。但是，人们认为有可能使系统的发展速度比此速度更快，并且仍然有很高的成功率。

与绝热量子计算相似，定义和的方式通常表示为从到的线性插值（对于增大，对于减小）。但是，与绝热计算一样，和不一定必须是线性的甚至单调的。例如，D-Wave考虑了暂停退火计划和“向后退火”的优势。$A(t)$$B(t)$$0$$1$$A(t)$$B(t)$$A(t)$$B(t)$

“适当的”量子退火（可以这么说）以在绝热状态下可能没有进行进化为前提，并且允许发生非绝热跃迁的可能性，但仅要求获得最佳机会的可能性很大，甚至在实践上更是如此，实现使用传统技术很难找到的结果。关于您可以多快地更改汉密尔顿方法来实现这一目标，尚无正式的结果：该主题似乎主要包括尝试一种启发式方法，以了解实际可行的方法。

与经典模拟退火的比较

尽管有术语，但尚不立即清楚量子退火与经典退火有很多共同之处。量子退火与经典模拟退火之间的主要区别在于：

• 在量子退火中，从某种意义上讲，该状态在理想情况下是纯状态，而不是混合状态（对应于经典退火中的概率分布）。

• 在量子退火中，演化是由哈密顿量的显式变化而不是外部参数驱动的。

外观上的改变可能会使量子退火和经典退火之间的类比变得更紧密。例如，可以通过写 ，其中对于的长度，我们可以选择和退火时间表。（这是故意选择的，因此且为

$$\tilde H_{\rm{classical}} = A(t) \sum_{i,j} J_{ij} s_i s_j - B(t) \sum_{i,j} \textit{const.}$$ $A(t) = t\big/(t_F - t)$$B(t) = t_F - t$$t_F > 0$$A(0) = 0$$A(t) \to +\infty$$t \to t_F$。）然后，正如退火算法原则上始终受Schrödinger方程支配一样，我们可以考虑一种退火过程，该过程由扩散过程支配，该扩散过程原则上通过构型的微小变化与tim保持一致，其中概率执行随机选择的配置更改的次数由 对于某些常数，其中是初始配置和最终配置之间的能量差。哈密​​顿量在处的扩散的稳定分布是均匀分布，哈密顿量的稳定分布为 $$p(x \to y) = \max\Bigl\{ 1,\; \exp\bigl(-\gamma \Delta E_{x\to y}\bigr) \Bigr\}$$ $\gamma$$E_{x \to y}$$t=0$$t \to t_F$是任何本地最小值；随着增加，发生增加能量的跃迁的可能性变小，直到为止，任何能量增加的可能性都消失了（因为任何可能的增加都是昂贵的）。$t$$t \to t_F$

在这种情况下，量子退火仍然存在悖论-例如，我们通过使势阱无限深（这不是一件非常物理的事情）来实现从能量增加的强烈抑制。举例说明了这两种模型之间的共同点，主要区别不是哈密顿量的演变，而是扩散和薛定er动力学之间的差异。这表明可能存在更精确的方法来从理论上比较这两种模型：通过描述经典退火和量子退火之间的差异，类似于随机游走和量子行走之间的差异$t \to t_F$。描述量子退火的一个常见成语是通过能垒的“隧道效应”-这当然与人们如何看待量子行走有关：例如，考虑Farhi 等人的工作。关于连续时间量子加速以评估NAND电路的研究，Wong更直接地进行了量子穿行的基础工作，研究了通过势垒的线隧道。总理[ arXiv：1606.06800 ]在考虑量子游走方面考虑了量子退火方面已经完成了一些工作，尽管看起来仍有空间进行更正式和完整的论述。

从纯粹的操作层面上看，量子退火似乎比传统退火具有性能优势（例如，参见有关Troke 与传统退火之间性能差异的幻灯片，摘自ETH的Troyer小组，2014年）。

量子退火是一种现象，与计算模型相反

由于技术人员对量子退火进行了更多研究，因此他们专注于将量子退火视为一种效果的概念，而不是根据一般原理定义模型。（粗略的类比只能研究studying电路模型，因为它代表了实现特征值估计或幅度放大的“效果”的一种手段。）

因此，至少某些人将某物是否视为“量子退火”描述为与硬件相关，甚至与输入相关：例如，在量子位的布局上，机器的噪声水平。似乎甚至尝试采用绝热方式也会阻止您实现量子退火，因为量子退火甚至包括什么，其中包括噪声（例如去相干性）将阻止退火的实现：作为计算效果，与计算模型相反，量子退火本质上要求退火计划要短于量子系统的退相干时间。

有些人偶尔将噪声描述为对量子退火过程必不可少的部分。例如，Boixo 等。[ arXiv：1304.4595 ]写

与绝热量子计算不同，量子退火是一种正温度方法，涉及与热浴耦合的开放量子系统。

这或许会对准确描述它作为是其中一人将执行退火设备的必然特征（只是因为噪音是一个系统，其中，你会做的量子信息处理的必然特征任何一种）：为Andrew O写 “ 在现实中没有浴确实有助于量子退火 ”。耗散过程有可能通过帮助系统在较低能态下建立种群来帮助量子退火（如Amin 等人的工作[ arXiv：cond-mat / 0609332 ]所建议），但这似乎基本上是经典效果，并且固有地需要安静的低温环境，而不是“噪音的存在”。

底线

可以说，尤其是研究它的人，量子退火是一种作用，而不是计算模型。那么，“量子退火器”将被最好地理解为“一种实现量子退火效应的机器”，而不是试图体现被称为“ 量子退火 ” 的计算模型的机器。但是，绝热量子计算也可以这么说，我认为正确，绝热量子计算本身就是一种计算模型。

将量子退火描述为一种实现非常普遍的启发式方法的方法也许是公平的，并且存在一个隐式的计算模型，该模型可以表征为可以期望这种启发式方法成功的条件。如果我们以这种方式考虑量子退火，那将是一个模型，其中包括绝热状态（具有零噪声）作为特例，但从原理上讲可能更一般。