基态能量估计-VQE与Ising与Trotter–Suzuki

免责声明：我是一位对量子计算感到好奇的软件工程师。尽管我了解其背后的一些基本概念，理论和数学，但我绝不是这个领域的经验者。

我正在对量子软件开发的状态进行一些初步的研究。我研究的一部分是评估Microsoft的QDK及其一些示例（以Q＃编写）。

据我了解，某些优化问题（旅行推销员的问题）可以通过首先将它们简化为QUBO或Ising问题，然后通过量子退火或VQE算法加以解决来解决。该过程的一部分是找出哈密顿量并求解薛定inger方程。这是我的理解，如果有误，请指正。

QDK的哈密​​顿仿真样本具有基于Ising和Trotter-Suzuki的仿真示例。但是最近1Qbit发布了基于VQE的解决方案。

我的问题是：上面列出的所有方法（VQE，Ising，Trotter-Suzuki）是否都做同样的事情？也就是说，估算给定系统的基态能量？例如，基于VQE和Trotter-Suzuki的H2仿真示例是否以不同的方式做相同的事情？如果是这样，应该首选哪种方法？

在您提到的每个示例中，任务都大致分为两个步骤：找到一个用量子位描述问题的哈密顿量，并找到该哈密顿量的基态能量。从这个角度来看，约旦-维格纳变换是一种找到与给定的费米性哈密顿量相对应的量子比特哈密顿量的方法。

一旦用量子位哈密顿量指定了问题，就可以（再次非常粗略地）找到两种寻找基态能量的方法。使用变分方法，您可以从称为ansatz的状态族中准备状态，然后针对每个不同的输入状态估计汉密尔顿量的期望值，并将其最小化。要获得每个期望值，您可以执行诸如打破哈密顿量的操作$H$ 合计 $H = \sum_i h_i H_i$，每个 $h_i$ 是一个实数，每个 $H_i$是一个更容易估计其期望值的哈密顿量，例如Pauli运算符。然后，您可以估算$\langle H \rangle$ 通过估计每个 $\langle H_i \rangle$ 反过来。

另一种广泛的方法是通过演化量子位哈密顿量下的输入状态，将能量估计问题转变为频率估计问题 $H$代表您的问题。正如您在问题中指出的那样，这隐式使用了薛定inger方程$|\psi(t)\rangle = e^{-i H t} |\psi(0)\rangle$。在特殊情况下$|\psi(0)\rangle$ 是基态（例如，经过绝热准备的结果），那么这给您 $|\psi(t)\rangle = e^{-i E t} |\psi(0)\rangle$; 也就是说，关于您的初始状态的全球阶段。由于无法观察到全局阶段，因此可以使用阶段反冲技巧（有关详细信息，请参阅我的书的第7章以获取更多详细信息）将全局阶段转换为局部阶段。从那里开始，随着您的变化$t$，基态能量显示为可以使用相位估算学习的频率。相位估计本身具有两种广泛的风格（这里有一个主题……），即量子相位估计和迭代相位估计。在第一种情况下，您使用额外的量子位将相位读出到量子寄存器中，如果您想对该能量进行进一步的量子处理，这将非常有帮助。在第二种情况下，您可以使用一个额外的量子位来进行具有相位反冲的经典测量，从而可以重用基态的副本。那时，学习$E$ 您可以通过多种不同的方法来解决经典测量中的经典统计问题，例如，使用Kitaev算法，最大似然估计，贝叶斯推断，鲁棒相位估计，随机游走相位估计或许多其他方法。

这样就留下了如何在 $H$。就是类似Trotter-Suzuki的技术出现的地方。使用Trotter-Suzuki分解，您可以$H$合并成每个易于模拟的项的总和（可以与用于VQE的分解相同，但不必如此），然后在模拟每个项之间快速切换。还有许多其他模拟算法，例如量子化，但是Trotter-Suzuki是一个很好的起点。

鉴于有太多不同的技术，那么您会选择VQE而不是相位估计吗？反之亦然？这取决于您要使用哪种量子资源来解决您的问题。在非常高的水平上，VQE倾向于生成大量非常薄的量子电路。相比之下，相位估算所使用的量子程序通过使用相干演化来显着减少所需的数据量（大致来说，这是海森堡有限精度与“标准量子极限”之间的区别，“标准量子极限”既不是标准，量子也不是极限-但我离题了）。缺点是相位估计可以使用更多的量子位和更深的量子程序。