括弧符号如何工作？

量子算法在其描述中经常使用括弧符号。所有这些括号和垂直线是什么意思？例如：$|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

尽管这可以说是一个关于数学的问题，但是在专门处理量子计算时，这种表示法似乎经常使用。我不确定我是否曾经在其他任何上下文中看到过它。

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到最后一部分，我的意思是可以使用线性代数的标准符号表示向量和内积，而使用这些对象和运算符的其他某些字段也可以不使用Bra-ket符号来表示矢量和内积。

这使我得出结论，为什么bra-ket特别适用于表示量子算法，这存在一定的差异/原因。这不是事实的断言，我是说是观察。“我不确定我是否在其他地方使用过它”与“在其他任何情况下都没有使用它”的说法不同。

正如其他人已经解释的那样，ket $\left|\psi\right>$只是一个向量。一个胸罩 $\left<\psi\right|$是向量的Hermitian共轭。您可以按照通常的方式将向量与数字相乘。

现在来了有趣的部分：您可以将两个向量$\left|\psi\right>$和\ left | \ phi \ right>的标量积写$\left|\phi\right>$为$\left<\phi\middle|\psi\right>$。

您可以对向量应用运算符（在有限维中，这只是矩阵乘法）$X\left|\psi\right>$。

总而言之，该符号非常方便直观。有关更多信息，请参见Wikipedia文章或有关量子力学的教科书。

您可以将和视为驻留在二维复矢量空间中的一个量子比特的两个正交基态（用“ ket”表示）。您看到的线条和方括号基本上是Bra-ket表示法，又称Dirac表示法，通常在量子力学中使用。| 1 $|0\rangle$$|1\rangle$

例如，可以表示电子的自旋向下状态，而可以表示电子的自旋向上状态。但是实际上，电子可以处于这两个状态的线性叠加，即（通常像），其中。| 1 ⟩ | ψ ⟩ 电子 = 一个| 0 ⟩ + b | 1 ⟩ 一个| 0 ⟩ + b | 1 $|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$一个，b∈$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$$a,b\in \Bbb{C}$

所有这些括号和垂直线是什么意思？

符号手段恰好一样的东西或，也就是说，它表示其名称为“V”的载体。而已。根本没有进一步的神秘或魔法。符号表示一个称为“ psi”的向量。→交通v v | ψ $\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

符号被称为“ ket”，但它也可以被称为“ vector”，而且绝对没有任何意义。$\left \lvert \cdot \right \rangle$

尽管这可以说是一个关于数学的问题，但是在专门处理量子计算时，这种表示法似乎经常使用。我不确定我是否曾经在其他任何上下文中看到过它。

该表示法是由物理学家（Paul Dirac）发明的，被称为“狄拉克表示法”或“ bra-ket表示法”。据我所知，狄拉克（Dirac）可能是在研究量子力学时发明的，因此从历史上看，该符号主要用于表示出现在量子力学中的矢量，即量子态。在任何量子力学环境中，不仅是量子计算，标准符号是标准。例如，使用Bra-ket表示法编写的Schrodinger方程与量子系统中的动力学有关，并且比量子计算早了数十年。

此外，该符号在其他线性代数上下文中非常方便，并且在量子力学之外使用。

这使我得出结论，为什么bra-ket特别适用于表示量子算法，这存在一定的差异/原因。

已经有一个可以接受的答案，并且可以解释“ ket”，“ bra”和标量积符号的答案。

我将尝试在突出显示的条目中添加更多内容。是什么使它成为有用/方便的符号？

括号表示法实际上经常使用的第一件事是非常简单地表示与特征值关联的（通常为Hermitian）算子的特征向量。假设我们有一个特征方程，这可以表示为，而且很可能一些额外的标签如果有一些简并性。甲| λ ⟩ = λ | λ ⟩ ķ 甲| λ ，ķ ⟩ = λ | λ ，ķ $A(v)=\lambda v$$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

您会看到这遍及量子力学，动量本征态往往根据单位或带有多个粒子状态被标记为或 ; bose和fermi系统的职业数字表示形式许多身体系统 ; 带有运算符本征态的自旋半粒子，有时写为和或和等作为速记$\left|\vec{k}\right\rangle$| → p 1，→ p 2，→ p 3 … ⟩ | ñ 1，ñ 2，... ⟩小号ž | + ⟩ | - ⟩ | $\left|\vec{p}\right\rangle$$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$$\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$| $\left|\uparrow\,\right\rangle$| ± ℏ / 2 ⟩ 大号2 大号ž | 升，米⟩升= 0 ，1 ，2 ，... 米= - 升，- 升+ 1 ，... ，升- 1 ，升$\left|\downarrow\,\right\rangle$$\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; 球谐函数作为和函数的本征函数可方便地写为其中和$L^2$$L_z$$\left|l,m\right\rangle$$l=0,1,2,\ldots$$m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

因此，表示法的便利性是一回事，但是对于带狄拉克符号的代数运算，也有一种“乐高”感觉，例如狄拉克符号中的自旋半算子为 ，以类似于一个简单地做S x = $S_x$| ↑$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$$\left|\uparrow\right\rangle$

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

因为和。⟨ ↓ | 好↑ ⟩ = $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$$\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

是什么使量子算法更方便？

假设我们有一个适合于量子比特的二级系统；这形成了二维复矢量空间 say，其基础表示为和。当我们考虑说这种形式的量子比特时，系统的状态存在于张量积空间的更大空间中。狄拉克（Dirac）标记在这里很方便，基本状态将用一串和零标记，而一个通常表示状态，例如，说我们有一个翻转操作符可以互换| 0 ⟩ | 1 ⟩ Ñ V ⊗ Ñ | 1 ⟩＆CircleTimes; | 0 ⟩＆CircleTimes; | 0 ⟩＆CircleTimes; | 1 ⟩＆equiv; | 1001 ⟩ X 我 1 ↔ 0 我X 3 | 1001 ⟩ = | 1011 $V$$\left|0\right\rangle$$\left|1\right\rangle$$n$$V^{\otimes n}$$\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$$X_i$$1\leftrightarrow 0$在第个位上为，这可以相当简单地作用于上述字符串，例如，并对运算符求和或对a状态叠加的工作原理很简单。$i$$X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

稍加注意：写为并不总是表示，例如，当您有两个相同的费米子波动函数说和，并且标签索引了一些基集，那么人们可能会写出费米子的更确定的状态为甚至。| 一个⟩＆CircleTimes; | b ⟩ φ ķ 1（→ [R 1）φ ķ 2（→ - [R 2）$\left|a,b\right\rangle$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$$\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$$\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$| φķ1，φķ2⟩| ķ1，ķ2⟩≠| ķ1⟩＆CircleTimes;| k

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

该KET符号手段载体中使用的任何向量空间我们正在努力，比如8个3位字符串的所有复杂的线性组合的空间，，，等等，因为我们可能会使用代表量子计算机的状态。未经修饰的表示的是完全相同的东西– ket表示部分有用，例如强调是感兴趣的矢量空间的元素，另一部分是因为其可爱性与文胸符号。000 001 010 ψ | ψ ⟩ | 010 $|\psi\rangle$$000$$001$$010$$\psi$$|\psi\rangle$$|010\rangle$

该胸罩符号指双载体或covector -a 线性功能，或线性映射从向量标量，在一个向量，其值是内积的与，讨人喜欢地写入。在这里，我们假设存在一个内积，这不是在任意向量空间中给定的，但是在量子物理学中，我们通常在希尔伯特空间中工作，而希尔伯特空间根据定义具有一个内积。向量的对偶有时也称为其（Hermitian）转置| φ ⟩ ψ φ ⟨ ψ | φ ⟩ ř ö 瓦特 × Ç ö 升ù 中号Ñ [ 一个b - b 一个 ]一个+ b $\langle\psi|$$|\phi\rangle$$\psi$$\phi$$\langle\psi|\phi\rangle$，因为在矩阵表示中，向量对应于一列，而向量对应于一行，当您将相乘时，便得到标量。（厄密部分装置除了转置矩阵，我们以它的条目-这实际上只是进一步转置矩阵表示的复共轭的复合物的数字。）$\mathrm{row} \times \mathrm{column}$$\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$a + b i$

用另一种方式写时，，你得到的外积的与，定义为向量空间的线性变换通过给自己。也就是说，给定向量，它会根据内积给出的标量缩放向量。由于相关操作是关联的，因此我们可以删除括号并明确地编写ψ φ | θ ⟩ ↦ （⟨ φ | θ ⟩ ）| ψ ⟩ θ ψ ⟨ φ | θ ⟩ （| ψ ⟩ ⟨ φ |）| θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ φ | θ ⟩ = ⟨ φ | θ ⟩ | ψ ⟩ = （$|\psi\rangle\langle\phi|$$\psi$$\phi$$|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$$\theta$$\psi$$\langle\phi|\theta\rangle$⟨ ψ | φ ⟩ = ⟨ φ | ψ ⟩ *一个+ b 我一个- b 我⟨ ψ | A | φ ⟩ ⟨ ψ | A | φ ⟩ ⟨ ψ | | φ ⟩

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ 所涉及的操作是不一般的交换，但是：反向排序产生了复共轭，更换通过。混合中可能还存在其他涉及空间的变换，例如，可以等效地理解为线性函数的预合成 通过线性变换，将其应用于向量$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$$a + b i$$a - b i$$\langle\psi|A|\phi\rangle$$\langle\psi|$$A$$|\phi\rangle$，或作为线性函数的评估 在通过线性变换变换获得的向量上。$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$A$

该表示法主要用于量子物理学。数学家往往只写，而物理学家可能写；用于向量; 任一或内积; 和，物理学家会用。| ψ ⟩ ψ * ⟨ ψ | ⟨ ψ ，φ ⟩ ψ * φ ψ *一个φ ⟨ ψ | A | φ $\psi$$|\psi\rangle$$\psi^*$$\langle\psi|$$\langle\psi,\phi\rangle$$\psi^*\phi$$\psi^*A\phi$$\langle\psi|A|\phi\rangle$