MATLAB反斜杠运算符如何求解平方矩阵的

我将一些代码与“常规” MATLAB代码进行了比较。我对结果感到惊讶。

我运行了一个示例代码（稀疏矩阵）

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

结果：

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

对于密集矩阵：

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

结果：

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

a \ b到底有多棒？

在Matlab中，“ \”命令调用一个算法，该算法取决于矩阵A的结构，并包括对A属性的检查（开销很小）。

1. 如果A稀疏且带状，请使用带状求解器。
2. 如果A是上三角矩阵或下三角矩阵，请使用向后替换算法。
3. 如果A是对称的并且具有真实的正对角元素，请尝试进行Cholesky分解。如果A稀疏，请首先进行重新排序以最小化填充。
4. 如果没有满足以上条件，则使用带有部分枢轴的高斯消去法进行一般的三角分解。
5. 如果A稀疏，则使用UMFPACK库。
6. 如果A不为平方，则对不确定的系统采用基于QR分解的算法。

为了减少开销，可以在Matlab中使用linsolve命令，然后自己在这些选项中选择一个合适的求解器。

如果要查看a\b对特定矩阵有什么作用，可以设置spparms('spumoni',1)并确切说明给您印象深刻的算法。例如：

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

将输出

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

因此我看到在这种情况下，“ \”最终使用了“ CHOLMOD”。

对于稀疏矩阵，Matlab使用UMFPACK进行“ \”运算，在您的示例中，该运算基本上遍历了的值a，将它们取反，然后将它们与的值相乘b。但是，对于本示例，您应该使用b./diag(a)，速度要快得多。

对于密集的系统，反斜杠运算符要复杂一些。一个什么样的简要说明中给出时，做这里。根据该描述，在您的示例中，Matlab将解决a\b使用向后替换的问题。对于一般的平方矩阵，使用LU分解。

根据经验，如果您有一个具有复杂度的稀疏矩阵（即，它不一定是5点模板，但实际上可以是斯托克斯方程的离散化，对于该方程，每行非零数为如果问题不大于约100,000个未知数，则稀疏直接求解器（例如UMFPACK）通常会胜过迭代Krylov求解器。

换句话说，对于大多数由2D离散化产生的稀疏矩阵，直接求解器是最快的选择。仅对于快速获得超过100,000个未知数的3d问题，才有必要使用迭代求解器。