我想学习如何将小波方法应用于PDE，但是不幸的是，我不知道学习此主题的好资源。
看起来，小波的许多介绍都集中在插值理论上，例如，通过最好叠加几个小波来组合信号。有时会提到PDE的应用程序，而无需深入探讨该主题。对于那些看过WFT但又对该主题没有更多知识的人，我感兴趣的是很好的摘要文章。当然，如果您认为可以做到的话，那么很好的总结也很有趣。
我对获得通常会出现哪种问题的印象特别感兴趣。例如，我知道有限元通常应用于具有Lipschitz边界的有界域上的PDE，这是选择ansatz空间（合格，不合格，几何和组合），收敛理论如何建立的典型问题（实际上，小波的Galerkin理论应该没有太大的不同），而且我有一些直觉，认为数学上的东西在实现中是可行的。对PDE的Wavelet这样的鸟瞰图对我很有帮助。
Answers:
小波具有良好的多分辨率逼近特性，但在求解PDE方面并不特别流行。最常被引用的原因是施加边界条件的困难，未对准各向异性的处理，非线性项的评估和效率。
小波首先获得了完全自适应方法的强收敛结果（请参阅Cohen，Dahmen和DeVore 2001和2002）。然而，这个关键理论很快被Binev，Dahmen和DeVore（2004）效仿，他们证明了自适应有限元方法的相似结果，这种方法在中等尺寸的传统PDE问题中更受欢迎。对于高维问题，小波基很受欢迎，例如随机PDE的稀疏张量方法Schwab和Gittelson（2011）以及本讨论。
当以小波基表示并用Jacobi进行预处理时，微分算子具有有界条件数（因此Krylov方法以恒定的迭代次数收敛，而与分辨率无关）。这与Yserentant（1984），Bank，Dupont和Yserentant（1988）等的分层多网格方法有关。请注意，乘法多重网格方法具有比加法更好的收敛性。标准的多重网格V周期在小波基础上具有通常的顺序，基本上等效于标准对称Gauss-Seidel。请注意，这很少是实现的最佳方法，尤其是并行实现。
在小波基中评估微分算子相对较昂贵，并且可能难以建立所需的守恒性质。一些作者（例如Vasilyev，Paolucci和Sen 1995）诉诸于并置方法，并使用有限差分模板来评估导数和非线性项。如果小波扩展被阻塞（通常对计算效率有好处），则这些方法将变得非常类似于块结构AMR。
我建议Beylkin和Keizer（1997）作为用小波求解PDE的实用介绍。该MADNESS的代码是基于这些方法。它支持沉浸边界（请参阅Reuter，Hill和Harrison 2011），但没有有效的方法来表示复杂几何图形中的边界层。该软件通常用于不关心几何形状的化学问题。
对于小波的一般数值分析，我建议科恩（Cohen）在2003年出版。它提供了一个分析框架，在该框架中，对连续解决方案进行了处理，直到您希望对其进行评估以达到给定的精度为止，此时将根据需要评估小波基。