小波如何应用于PDE?


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我想学习如何将小波方法应用于PDE,但是不幸的是,我不知道学习此主题的好资源。

看起来,小波的许多介绍都集中在插值理论上,例如,通过最好叠加几个小波来组合信号。有时会提到PDE的应用程序,而无需深入探讨该主题。对于那些看过WFT但又对该主题没有更多知识的人,我感兴趣的是很好的摘要文章。当然,如果您认为可以做到的话,那么很好的总结也很有趣。

我对获得通常会出现哪种问题的印象特别感兴趣。例如,我知道有限元通常应用于具有Lipschitz边界的有界域上的PDE,这是选择ansatz空间(合格,不合格,几何和组合),收敛理论如何建立的典型问题(实际上,小波的Galerkin理论应该没有太大的不同),而且我有一些直觉,认为数学上的东西在实现中是可行的。对PDE的Wavelet这样的鸟瞰图对我很有帮助。

Answers:


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小波具有良好的多分辨率逼近特性,但在求解PDE方面并不特别流行。最常被引用的原因是施加边界条件的困难,未对准各向异性的处理,非线性项的评估和效率。

小波首先获得了完全自适应方法的强收敛结果(请参阅Cohen,Dahmen和DeVore 20012002)。然而,这个关键理论很快被Binev,Dahmen和DeVore(2004)效仿,他们证明了自适应有限元方法的相似结果,这种方法在中等尺寸的传统PDE问题中更受欢迎。对于高维问题,小波基很受欢迎,例如随机PDE的稀疏张量方法Schwab和Gittelson(2011)以及本讨论

当以小波基表示并用Jacobi进行预处理时,微分算子具有有界条件数(因此Krylov方法以恒定的迭代次数收敛,而与分辨率无关)。这与Yserentant(1984),Bank,Dupont和Yserentant(1988)等的分层多网格方法有关。请注意,乘法多重网格方法具有比加法更好的收敛性。标准的多重网格V周期在小波基础上具有通常的顺序,基本上等效于标准对称Gauss-Seidel。请注意,这很少是实现的最佳方法,尤其是并行实现。

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在小波基中评估微分算子相对较昂贵,并且可能难以建立所需的守恒性质。一些作者(例如Vasilyev,Paolucci和Sen 1995)诉诸于并置方法,并使用有限差分模板来评估导数和非线性项。如果小波扩展被阻塞(通常对计算效率有好处),则这些方法将变得非常类似于块结构AMR。

我建议Beylkin和Keizer(1997)作为用小波求解PDE的实用介绍。该MADNESS的代码是基于这些方法。它支持沉浸边界(请参阅Reuter,Hill和Harrison 2011),但没有有效的方法来表示复杂几何图形中的边界层。该软件通常用于不关心几何形状的化学问题。

对于小波的一般数值分析,我建议科恩(Cohen)在2003年出版。它提供了一个分析框架,在该框架中,对连续解决方案进行了处理,直到您希望对其进行评估以达到给定的精度为止,此时将根据需要评估小波基。

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