形状功能的基本说明

与我以前在本科课程中所做的相比，我刚刚开始以更加结构化的基础学习FEM。我这样做是因为，尽管事实上我可以在商业（和其他非商业）软件中使用“ FEM”，但我还是想真正了解支持该方法的地下技术。这就是为什么我至少要为有经验的技术用户提出这样的基本问题。

现在，我正在阅读Zienkwicz出版的一本颇受欢迎（我认为）且对工程师友好的书，名为“有限元方法-基础”。我从第一页开始就读过这本书，但是我仍然无法按照Zienkwicz解释它的方式来理解形状函数的概念。

从我所读到的内容中，我知道的是一个“刚度”矩阵，该矩阵将未知数与结果相关联（ in：），其成分来自“节点之间的关系”，如果“关系”改变（即如果我们将其更改为高阶插值），则刚度矩阵也会改变，因为节点之间的关系也会改变。$A$$Ak=b$

但是在这本书中，这个定义对我来说是很模糊的，因为在某种程度上它说您可以任意选择函数作为身份矩阵：

我发现的唯一解释是在此Blog中，但对我来说仍然不清楚。因此，有人可以简单地向我解释什么是Shape函数，以及如何将其“放入”刚度矩阵？

我一直发现描述有限元方法的方法着眼于离散线性系统，并且向后不必要地造成混淆。采取另一种方法更加清晰，即使在开始时涉及一些数学符号（我将尽量减少这种符号）。

假设您正在尝试求解给定和未知的方程，其中是在空间中映射函数（例如，描述域中每个点的位移）的线性算子在另一个空间中起作用（例如，描述施加的力）。由于函数空间通常是无限维的，因此无法在数值上求解该系统。因此，标准方法是用有限维子空间替换，并满足寻找$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$。由于范围空间的缘故，它仍然是无限维的（为简单起见，我们也假定它也为），因此我们只要求的残差正交于或等效地，对于中的每个基本向量，。如果现在将写为这些基向量的线性组合，则剩下的线性系统用于此组合中的未知系数。（项正好是刚度矩阵，而是载荷矢量的项。如果$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$ 是微分运算符，通常在某个时候按部分进行积分，但这在这里并不重要。）

到目前为止，这些方法都不是特定于有限元方法，而是适用于任何所谓的Galerkin方法或加权残差方法。有限元方法的特征是的特殊选择：将计算域分解为许多基本形状相同的元素（例如，三角形；该过程通常称为三角剖分），并且选择空间使得对于每个元素，中的函数是多项式（例如，和线性$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$）。此外，选择基本函数，使得它们仅在元素之一（的附近）中为非零。这种选择的重点是您可以建立的基础$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

在结构力学有限元的工程方法中，它是如何呈现的，您会感觉不到正在求解偏微分方程。

它们向您展示了这些矩阵，它们附加了一些物理意义，而我认为这会导致您对该领域形成一种可疑的物理直觉。

考虑几何学主题可能会有所帮助。PDE边值问题的解决方案是某种形状。VI Arnol曾经称赞牛顿在该领域的成就，以表述来解释-他通过允许我们将自然科学的问题重构为平面和空间曲面的几何问题，从而创建了微分方程领域，做了一件了不起的事情。

在FEM中，您可以近似解（在FD和FVM中，您可以近似控制方程）。

输入Boris Gligorievich Galerkin。BG Galerkin说了什么？

他说：“ 我希望您不能使用相同的基函数来产生残差，而是您用来创建解决方案。”

（PS这个故事是完全不对的，如果存在的话，我敦促读者找到对（Bubnov-）Galerkin方法的更好解释。）

基本功能或试用功能是用于构建解决方案的功能。您可以使用它们来近似解决方案的形状。

$Ku=f$

$Ku=f$

关于“形状函数”要了解的最重要的事情是，它们描述了要计算的因变量（例如位移）如何根据元素的空间坐标（例如x和y）在以下方面变化：一些未知的标量参数。

形状函数通常是简单的多项式，标量参数是元素节点上因变量的值。

使用这些形状函数形成有限元方程组还需要一些其他基本概念，例如为要求解的偏微分方程建立“弱形式”。

有限元方法有很多不必要的“神秘主义”，因此我鼓励您尝试全面了解基本原理的方法。

我的演讲是在http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html的第 4课中。特别是，它使您了解为什么选择有限元方法时通常使用的帽子函数-即，因为它们导致了稀疏性这一重要概念，即使基础函数的许多其他选择本来可以同样有效。

每个元素都有一个与之相关的位移模型，该位移模型根据广义系数和自变量（x，y，z）表示场变量（因变量）的变化，例如：1D u（x）= a0 + a1x对于2节点线性对于3个节点的二次元素，元素u（x）= a0 + a1x + a3x ^ 2，依此类推。这里ai s是广义系数，然后我们消除ai s并根据形状函数和场变量的节点值表达场变量的变化。例如：u（x）= N1 u1 + N2 u2将字段变量的变化与字段变量的节点值相关联的函数称为“形状函数”。形状函数的数量将取决于节点的数量和每个节点的变量数量。因此，形状函数可以视为函数，表示每个节点值在元素内部点的贡献。对于两个节点的元素在节点1上，N1的贡献为1，N2的贡献为零。

在节点2上，N2的贡献为1，N1的贡献为零。

在元素的中点，两个节点具有相等的权重或影响。因此，形状函数不仅表明场变量如何在元素上变化，而且还表明场变量的每个节点值在元素的内部点有多大影响。学习愉快：）

我还在这里更详细地介绍了形状函数：http : //stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

它以视觉方式逐步解释了Rayleigh-Ritz方法的工作方式。最终写这篇文章有助于我理解形状函数。

根据我的理解，形状函数不过是场变量和节点之间的关系。

假设我们的地球受到外部负载的压力，而我们的地球就要破裂了。通过分析方法，我们使用了许多公式，并发现在某个部分（例如假设亚洲大陆）大地正在破裂。使用FEM方法，我们将地球划分为不同的国家，州和城市，对每个城市进行网格划分，最后将所有城市连接起来，形成一个称为地球的地球。形状功能是关键，它在网状城市之间架起一座桥梁，形成一个州和一个国家，最后形成一个地球。它是连接网格的链接。完成此操作后，将施加载荷并在裂缝开始时可以找到确切的位置，并且可以对其进行加固。

希望这对您有所帮助。

根据我对形状函数的了解，就是将几何节点坐标与具有相同形状函数的Element位移连接起来。

考虑一维情况。带有2个节点的条形结束。

当我将此元素与其节点坐标相连接时，可以借助插值函数找出该元素中任意点的位移。

因此，基本上，形状函数是我们所做的近似运算，以便以一种值得称赞的方式找到空间中任何一点的变形。

形状函数是将元素上任意点的位移与元素节点的位移相关联的函数。形状函数与元素上的点的关系图显示了元素的变形“形状”，因此显示了形状函数的名称。