有限元法与扩展有限元法（FEM与XFEM）

FEM和XFEM之间的主要区别是什么？什么时候（不应该）使用FEM的XFEM接口，反之亦然？换句话说，当我遇到一个新问题时，我怎么知道使用其中一个？

— Anh-Thi DINH
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在我遇到XFEM的大多数时候，它是处理与实体力学中与裂纹扩展和断裂有关的不连续性。我还没有真正看到它在这个应用程序之外使用。

— 保罗

实际上，还有许多其他领域也使用XFEM解决。这就是为什么我开始解决问题时就需要知道识别此方法的方法的原因。

— Anh-Thi DINH 2014年

Answers:

有限元方法（FEM）是父方法，它启发了许多其他方法和方法，这些方法实际上是FEM，但假装并非如此。

在有限元方法中，“形状函数”用于提供近似空间，以便可以用向量表示解。在经典FEM中，这些形状函数是多项式。

在扩展有限元方法（XFEM）中，除多项式形状函数外，还使用其他“浓缩”函数来近似求解。选择这些富集函数以使其具有已知可遵循的属性。

最明显的XFEM富集函数是在裂纹尖角处引入的幂函数，以表示固溶梯度中的奇异性（即，对于固体力学问题而言，应力中的奇异性）。XFEM可以用于其他富集功能和其他溶液域（尤其是传热），但其名称与裂缝分析同义。

各种方法之间的区别（是否为XFEM？等等）是棘手，微妙和不重要的。

至于使用哪种，XFEM几乎没有实际用途。实际的有限元代码中有少量应用，最著名的是Abaqus，但尚未得到广泛的接受。

对于几乎所有实际问题，都将使用经典的有限元法。对于大多数断裂分析问题，仍可以使用经典有限元法在裂纹尖端区域进行适当的网格细化和/或p细化。也可以使用其他不太严格的断裂模型。

— 麦克风
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不希望从这个（优）答案带走，即在折返角表示溶液组分的单数函数是类型的事实其中是的拐角处，所述距离为位移（解），并且应力（其导数）为。

r^{α}

$r^{\alpha}$

r

$r$

0 < α < 1

$0<\alpha<1$

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$

— Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth，谢谢！我编辑了答案，说“幂函数”，这是我的初衷，尽管它仍然不够精确。我几乎把sqrt（r）（用于闭合裂缝）画出了更清晰的图片，但是我不确定它是否会分散注意力。我知道，关于认真的XFEM实现，还有很多细节（有些我已经研究过，而另一些则没有）。

— 迈克

@Mike：另一个不太相关的问题是P1气泡FEM和XFEM有什么区别？能给我看看么？

— Anh-Thi DINH 2014年

@PoBo，几乎没有相似之处。两种方法都涉及在不更改网格的情况下添加形状函数，并且都基于整个FEM系列的相同基本数学原理，但这就是相似之处所在。

— 2014年

如果您对p版本或P1气泡形状函数方法没有很好的了解，则可以尝试另一个顶级问题，也可以选择其中一本书（Szabo和Babuska的著作总体上比较严格，但是比其他涵盖p版本的版本少得多。）

— Mike

无论小李的回答和杰德的一个很好地描述了XFEM / FEM二分法正确指出，应用最重要的领域是三维断裂力学，那就是你有一个裂缝，即位移不连续跨越面域里面。

在经典FEM中很难模拟裂缝，原因有两个：

网格必须在整个裂纹上是一致的：更确切地说，裂纹必须在有限元的子域的边界处。裂纹不能位于（通过）有限元内。
裂纹尖端处的奇异应力场需要使用特殊的元素和/或网格化技术（四分之一点元素，聚焦网格）进行高精度建模。

从断裂力学的工程角度来看，问题主要有两种：

应力强度因子计算，
裂纹扩展分析，例如疲劳或损伤容限分析。

对于第一类问题的经典有限元法是足够有余，是该标准的工程工具。（这是因为，幸运的是，有一些能量方法可以评估对裂纹尖端附近的数值误差不敏感的应力强度因子。）

裂纹扩展分析是一个完全不同的故事：在大多数情况下，您事先都不知道裂纹路径，因此需要经常重新修整。XFEM的主要前景是允许裂纹在固定的 FEM网格内传播，这种裂纹不仅在子域之间的边界处而且在 FE自身内部都可以通过。

XFEM是一项相对较新的技术，距离标准的工程工具还很远。我的答案的OP问题，至少在固体力学和工程分析，是XFEM具有裂纹和损伤扩展分析非常窄和专门应用领域，对于复杂的3D几何形状，当无法估计的裂缝路径先验。

不过，让我强调一下，断裂力学在工程学中是一个非常重要的领域：例如，今天的飞机也很安全，因为可以通过数值预测维修间隔之间的损坏和裂纹扩展。XFEM或类似的新技术将在不久的将来成为重要的工具。

— 斯特凡诺（Stefano M）
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大家都知道了XFEM在断裂力学中的重要性，但是还有其他领域需要使用XFEM代替经典FEM吗？例如，在生物膜生长中，基质中生物膜的界面随时间变化。边界是可变的（移动边界）。如果我们使用经典的FEM，则必须在每个时间步生成网格，对吗？这确实不好，尤其是在3D情况下。或者，如果我们考虑具有不同浓度梯度的两相流体，似乎也需要使用XFEM？

— Anh-Thi DINH 2014年

存在很多问题，其中有自由曲面或移动边界，这对于纯拉格朗日方法很难解决（由于频繁重新网格化）。XFEM更多地是关于对域内部的不连续建模。我知道利用不连续性表示运动边界的耦合过程...但是我不是这些领域的专家。

— Stefano M

另一个不太相关的问题是，P1气泡FEM和XFEM有什么区别？能给我看看么？

— Anh-Thi DINH 2014年

我建议打开一个新问题。简而言之，P1-bubble / P1是一个特定的有限元（用于Stokes方程的解），而XFEM是一个更通用的概念，涉及利用富集函数对不连续性进行建模，这是利用Unity划分方法的。

— Stefano M

FEM是XFEM的子集。XFEM是一种用于丰富有限元素空间以处理不连续性问题（例如断裂）的方法。对于经典的FEM，要达到相似的精度，通常需要复杂的共形网格划分和自适应细化，而XFEM则使用单个网格来完成，将几何复杂性移动到元素中（XFEM的实现非常复杂，尤其是在3D中）。同时，XFEM导致条件极差的矩阵，需要直接求解器或非常专业的多网格方法（例如Gerstenberger和Tuminaro（2012））。

— 杰德·布朗
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最终，将复杂度从网格转移到形状函数的努力是否真的值得？两者似乎都以相同的方式复杂。

— shuhalo 2015年

计算科学中经常发生这种情况，这取决于您问谁以及您要解决什么问题。许多XFEM从业者通过使用粗略的正交而不是一种适合元素内不连续性的方法来进行下注。

— 杰德·布朗