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我想对一维简单电位上的波包散射进行一些简单的模拟。

是否有简单的方法来数值求解单个粒子的一维TDSE？我知道，通常来说，尝试使用朴素的方法来积分偏微分方程会很快以灾难告终。因此，我正在寻找算法

在数值上是稳定的
易于实现，或易于访问的代码库实现，
运行得相当快，希望
比较容易理解。

我还想相对地避开频谱方法，尤其是那些只像往常一样解决与时间无关的Schrödinger方程的方法。但是，我对使用B样条或诸如此类的伪谱方法感兴趣。如果该方法可以发挥与时间有关的潜力，那么那绝对是一个好处。

当然，任何这种方法都将始终具有许多缺点，因此我想听听这些缺点。什么时候不起作用？什么是常见的陷阱？可以采用哪些方法，不能采用哪些方法？

quantum-mechanics computational-physics

— 埃米利奥·皮桑蒂（Emilio Pisanty）
source

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相关：physics.stackexchange.com/q/12614和physics.stackexchange.com/q/12199

— Kyle Kanos 2014年

@EmilioPisanty我在SSFM的撰写中添加了一个错误讨论：我注意到（写完答案后，很抱歉）您并不热衷于频谱方法，但以防万一……

清理线程；从物理学中删除对话题性的讨论。

— Geoff Oxberry 2014年

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我建议从这里开始，尽管还有许多新近的工作：比较随时间变化的Schrödinger方程的不同传播方案。

— David Ketcheson 2014年

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@GeoffOxberry您可以提供这些评论的屏幕截图吗？

— Emilio Pisanty 2014年

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Schroedinger方程实际上是一个反应扩散方程（所有常数均为1）。对于任何偏微分方程，有两种解决方法：

\begin{matrix} (1) & i \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \nabla^{2} ψ + V ψ \end{matrix}

$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$

隐式方法（adv：时间步长大且无条件稳定，disadv：需要矩阵求解器可能会提供错误的数据）
显式方法（adv：易于实现，disadv：需要很小的时间步来保持稳定性）

对于抛物线方程（线性，二阶），隐式方法通常是更好的选择。原因是显式方法的稳定性条件要求，这将非常小。您可以通过使用隐式方法来避免此问题，该方法对时间步长没有任何限制（尽管实际上，由于可能会丢失一些物理特性，通常不会使它过分地大）。接下来我要介绍的是Crank-Nicolson方法，这是一种常见的二阶精确（时空）隐式方案。 $t$ $x$ $dt\propto dx^2$

初学者

为了以计算方式求解PDE，您需要将其离散化（使变量适合网格）。最直接的是矩形的笛卡尔网格。在此，表示时间索引（始终是上标），表示位置索引（始终是下标）。通过对位置相关变量采用泰勒展开式，公式（1）变为假设 $n$ $j$

i \frac{ψ_{j}^{n + 1} - ψ_{j}}{d t} = - \frac{1}{2} (\frac{ψ_{j + 1}^{n + 1} - 2 ψ_{j}^{n + 1} + ψ_{j - 1}^{n + 1}}{d x^{2}} + \frac{ψ_{j + 1}^{n} - 2 ψ_{j}^{n} + ψ_{j - 1}^{n}}{d x^{2}}) + \frac{1}{2} (V_{j} ψ_{j}^{n + 1} + V_{j} ψ_{j}^{n})

$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$

V = V (x)

$V=V(x)$ 。接下来发生的是一组类似的空间和时间索引（您可能需要仔细检查数学）：这个方程具有如下形式

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} \frac{d t}{d x^{2}} ψ_{j + 1}^{n + 1} + (i - \frac{d t}{d x^{2}} - \frac{1}{2} V_{j}) ψ_{j}^{n + 1} + \frac{1}{2} \frac{d t}{d x^{2}} ψ_{j - 1}^{n + 1} = i ψ_{j}^{n} - \frac{1}{2} \frac{d t}{d x^{2}} (ψ_{j + 1}^{n} - 2 ψ_{j}^{n} + ψ_{j - 1}^{n}) + \frac{1}{2} V_{j} ψ_{j}^{n} \end{matrix}

$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$

(\begin{array}{ccccc} A_{0} & A_{-} & 0 & 0 & \dots \\ A_{+} & A_{0} & A_{-} & 0 & \dots \\ 0 & A_{+} & A_{0} & A_{-} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \end{array}) (\begin{matrix} ψ_{0}^{n + 1} \\ ψ_{1}^{n + 1} \\ ⋮ \\ ψ_{J - 1}^{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ψ_{0}^{n} \\ ψ_{1}^{n} \\ ⋮ \\ ψ_{J - 1}^{n} \end{matrix})

$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$ 这称为三对角矩阵，并且具有已知的解决方案（加上有效的示例，包括一本是我写的！）。除项外，显式方法会方程式（2）的整个左侧（或者我应该说顶行？）。

i ψ_{j}^{n + 1}

$i\psi_j^{n+1}$

问题

我发现隐式方法的最大问题是它们很大程度上取决于边界条件。如果边界条件定义/实施不正确，则可能会在单元格中产生虚假振荡，从而导致不良结果（请参阅我在SciComp上有关类似主题的文章）。这实际上导致空间精度为一阶，而不是您的方案应该给出的精度为二阶。

隐式方法据说也很难并行化，但是我仅将它们用于一维热方程，不需要并行支持，因此我既不能验证也不否认该主张。

我也不确定波动函数的复杂性将如何影响计算。我所做的工作使用了Euler流体动力学方程，因此对于非负幅值是完全真实的。

随时间变化的潜力

如果您具有与时间相关的分析潜能（例如），则只需将当前时间用作RHS（2）上的和将来的时间，LHS上的。我不认为这会带来任何问题，但是我没有对此进行测试，因此我也无法验证或否认这方面。 $V\propto \cos(\omega t)$ $t$ $V_j$ $t+dt$

备择方案

Crank-Nicolson方法也有一些有趣的替代方法。首先是所谓的“超级时间步进”方法。在这个明确的方法，你花时间步长（），使用切比雪夫多项式的根得到一组优化的时间，步骤，迅速总和为速度比做步倍（有效您将获得因此每一步都会使您前进 $dt\propto dx^2$ $dt$ $dt/N$ $N$ $\Delta T=N^2dt$ $N$ $Ndt$ 及时）。（我在研究中采用了这种方法，因为您使用Crank-Nicolson方案无法从一个单元到另一个单元定义明确的“通量”，该通量用于将数据从一个处理器合并到另一个处理器）。

编辑 要注意的一点是，该方法在时间上是一阶准确的，但是如果您结合使用Runge-Kutta 2方法，它将在时间上为您提供二阶精确的方案。

另一个称为交替方向显式。此方法要求您具有已知且定义明确的边界条件。然后，通过直接在计算中使用边界来求解方程（无需在每个步骤之后应用边界）。此方法发生的情况是您两次求解PDE，一次是向上扫描，一次是向下扫描。向上扫描使用而向下扫描使用，而其他项保持不变。时间步长

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ_{j - 1}^{n + 1} - ψ_{j}^{n + 1} - ψ_{j}^{n} + ψ_{j + 1}^{n}}{d x^{2}}

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ_{j + 1}^{n + 1} - ψ_{j}^{n + 1} - ψ_{j}^{n} + ψ_{j - 1}^{n}}{d x^{2}}

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$

n + 1

$n+1$ 然后通过平均两个方向扫描来求解。

— 凯尔·卡诺斯（Kyle Kanos）
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很好的答案，唯一的抱怨就是你击败了我！

— 凯尔2014年

@ChrisWhite：我在想今天早上可以怎么做，我想到的唯一一件事就是对做一次，对做一次。我将看一下该论文（更重要的是他们给出的免费代码），并看看他们如何建议这样做。

R

$\mathbb R$

I

$\mathbb I$

— Kyle Kanos 2014年

@ChrisWhite也许偷偷摸摸是为了计算本征函数，我已经看过通过虚构的时间步长来计算：布置步长方向，以便最低能量本征函数具有最小的负值，因此衰减最慢。在随机输入上进行迭代时，非常快地只剩下最低能量本征函数的形状。然后，从随机输入中减去它，然后再次执行此过程：现在，下一个最低能量本征函数是主要函数。等等。听起来有些狡猾（尤其是 eigenfuncs 更高），但是它可以工作！

- h ν

$-h\,\nu$

- h ν

$-h\,\nu$

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@DavidKetcheson：反应扩散方程的形式为。在薛定inger方程的情况下，；请问这不是 RD型方程式吗？而且，奇怪的是，薛定inger方程实际上出现在我引用的反应扩散维基文章中。我所做的这种模棱两可也出现在许多出版的期刊和文章中（继续进行搜索）。也许对我来说建议使用标准库（如此处的通用MO）更好，例如PETSc，deal.ii或pyCLAW？

\partial_{t} u = D \partial_{x}^{2} u + R (u)

$\partial_tu=D\partial_x^2u+R(u)$

R (u) = V u

$R(u)=Vu$

— 凯尔·坎诺斯

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@KyleKanos：您的帖子很好。实际上，在DavidKetcheson发表的文章中，第一个参考文献主张Crank-Nicolson。与反应扩散的比较很好；正如您所注意到的，在许多公开的资料中都出现了对反应扩散的比较。我认为DavidKetcheson正在寻找类似前面提到的“色散方程”。

— Geoff Oxberry 2014年

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在90年代初期，我们一直在寻找一种解决TDSE的方法，该方法应足够快以在PC上实时制作动画，并且遇到了PB Visscher 在Physics in Physics中描述的令人惊讶的简单，稳定，显式的方法：“ 一种快速的显式算法对于时间相关的Schrödinger方程 ”。Visscher指出，如果将波函数分成实部和虚部，，则SE成为系统： $\psi=R+iI$

\begin{array}{rcl} \frac{d R}{d t} & = & H I \\ \frac{d I}{d t} & = & - H R \\ H & = & - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} + V \end{array}

$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$

$R$ $I$ $R$ $0,\Delta t,2\Delta t,...$ $I$ $0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

R (t + \frac{1}{2} Δ t) = R (t - \frac{1}{2} Δ t) + Δ t H I (t)

$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$

I (t + \frac{1}{2} Δ t) = I (t - \frac{1}{2} Δ t) - Δ t H R (t)

$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$

\nabla^{2} ψ (r, t) = \frac{ψ (r + Δ r, t) - 2 ψ (r, t) + ψ (r - Δ r, t)}{Δ r^{2}}

$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$ （标准三点拉普拉斯）。

这是明确的，非常快速地计算和二阶准确 $\Delta t$ 。

将概率密度定义为

P (x, t) = R^{2} (x, t) + I (x, t + \frac{1}{2} Δ t) I (x, t - \frac{1}{2} Δ t)

$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$ 以整数时间步长，并且，

P (x, t) = R (x, t + \frac{1}{2} Δ t) R (x, t - \frac{1}{2} Δ t) + I^{2} (x, t)

$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$

使算法统一，从而节省了概率。

借助足够的代码优化，我们可以在80486台计算机上实时获得非常精美的动画。学生可以“利用”任何潜力，选择总能量，并观察高斯数据包的时间演变。

这是解决实部和虚部的非常巧妙的技巧！还请注意，您可以使用来获得大型的集中式方程$$ ... $$。我已经为您做到这一点的自由，希望您不要介意！

— 凯尔·坎诺斯

我们很高兴找到该算法-它易于编程且运行迅速。最困难的部分是使初始条件正确，在t = 0时的R，在0.5dt的I ...我不介意编辑，我很高兴能得到方程式。

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@ user40172大约在同一时间，我们对波导进行了相同的操作，并确定了答案中描述的BPM。原因是当时我们可以使用DSP板与主CPU分开运行FFT。我们以为我们太聪明了，但是我必须说，在2014年提出解决软件问题的硬件解决方案看起来真是太难了！Visual Studio C ++的最新版本可以自动在CPU上对代码进行矢量化处理，并且可以通过FFT很好地完成工作。

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0.5 d t

$0.5dt$

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@俄罗斯由于我们一直在进行散射，我们使用了标准的自由粒子高斯波包，但要确保将其“远离”电势非零的任何区域“足够远”地启动。参见，例如：demoss.wolfram.com/EvolutionOfAGaussianWavePacket

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$x$ $t$

您要做的是光束传播方法的伪装版本，用于通过横截面不同（类似于时变电势）的波导进行光传播，因此对它进行查找也将很有帮助。

我查看SSFM / BPM的方式如下。它的基础是李理论的Trotter产品公式：

\begin{matrix} (1) & lim_{m \to \infty} {(\exp (D \frac{t}{m}) \exp (V \frac{t}{m}))}^{m} = \exp ((D + V) t) \end{matrix}

$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$

$x-y$ $x-y-z$ $\psi(x,y,z)$ $t$ $N$ $\Psi$ $1024\times1024$ $N=1024^2=1\,048\,576$

\begin{matrix} (2) & d_{t} Ψ = K Ψ = (D + V (t)) Ψ \end{matrix}

$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$

$K = \mathcal{D+V}$ $N\times N$ $\mathfrak{u}(N)$ $\Psi$ $\exp(K\,t)$ $i\hbar$ $K = \mathcal{D+V}$ $N$ $\mathfrak{U}(N)$ $\mathcal{D+V}$ $i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$ $V_0$

我们让：

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{lcl} D & = & i \frac{ℏ}{2 m} \nabla^{2} - i ℏ^{- 1} V_{0} \\ V & = & i ℏ^{- 1} (V_{0} - V (x, y, z, t)) \end{array} \end{matrix}

$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$

我为什么将它们分成这样，将在下面阐明。

$\mathcal{D}$ $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

$\Psi$ $\tilde{\Psi}$ $x,\,y,\,z$ $k_x,\,k_y,\,k_z$
$\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$ $\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$
$\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

$\mathcal{V}$ $\mathcal{V}$
$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$ $\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

$\Delta t$ $V(x,y,z,t)$

$\Delta t$ $\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{D}$

请注意，即使在离散的世界中，您也只会赋予一元运算符：FFT和纯相位因子。

$\Delta t$ $\Delta x$ $\Delta x/\Delta t$ $c$

这种事情的第二个“经验”点-我几乎愿意打赌，这就是您如何遵循自己的想法。我们经常有想要进行简单，快速和肮脏的仿真的想法，但这种方法永远无法实现！我从上面介绍的SSFM开始，因为它非常容易运行，您将很快看到其结果是否是物理的。稍后，您可以使用Mathematica SSFM代码检查可能最终构建的更复杂代码的结果，例如，按照Kyle Kanos的答案创建Crank Nicolson代码。

错误界限

Baker-Campbell-Hausdorff定理的Dynkin公式实现：

\exp (D Δ t) \exp (V) Δ t) = \exp ((D + V) Δ t + \frac{1}{2} [D, V] Δ t^{2} + \dots)

$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$

Δ t > 0

$\Delta t>0$

\exp (D Δ t) \exp (V) Δ t) \exp (- \frac{1}{2} [D, V] Δ t^{2}) = \exp ((D + V) Δ t + O (Δ t^{3}))

$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$

$\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$ $\Delta t$

\frac{Δ t^{2}}{2} [D, V] = - \frac{i Δ t^{2}}{2 m} (\partial_{x}^{2} V (x, t) + 2 \partial_{x} V (x, t) \partial_{x})

$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$

是一个简单的乘法运算符。所以你必须对感到满意 $[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$ ，并使用此来估算误差，通过加工出 $\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$ $\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$ $\psi(x,\,t)$ $\Delta t$ $\varphi$ $\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$ $\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$ 。

有关SSFM / BPM中的错误的相关文章是：

拉斯·泰伦（LarsThylén）。“光束传播方法：其适用性分析”，《光学与量子电子学》 15（1983）pp433-439。

拉尔斯·泰伦（LarsThylén）用非李理论上的术语来思考错误（李群是我的直觉，所以我想寻找它们的解释），但他的想法与上述观点基本相同。

— 湿大草原动物
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\exp [Δ t (D + V)] \approx \exp [Δ t V / 2] \exp [Δ t D] \exp [Δ t V / 2]

$\exp[\Delta t({\cal D} + {\cal V})] \approx \exp[\Delta t {\cal V}/2] \exp[\Delta t {\cal D}] \exp[\Delta t {\cal V}/2]$

Δ t

$\Delta t$ 权力。例如参见Bandrauk和Shen，Chem。物理来吧 176，428（1991）。显然，您的动力学项不能依赖于坐标，也就是说，它在曲线坐标中不能很好地工作。

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否则，将此拆分运算符与动能算符的FFT评估相结合，是解决分子物理学中基于网格表示的TDSE的标准过程之一。

@perplexity非常感谢。很高兴知道不同领域使用什么。您所参考的1991年日期很有趣：我一直很确定拆分步骤的想法是在1970年代后期从波导仿真中产生的-所以也许我错了。

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你根本没有错。那的确是灵感。我了解的将这些想法转化为质量管理的第一项工作是Feit，Fleck和Steiger，J. Comput。物理 47，412（1982），如果我没记错的话，它们实际上使用了相同的技巧，其优点是此处的操作器在构造上是统一的（与经典波不同）。我相信Ronnie Kosloff首次提出了针对此类仿真的基于FFT网格的方法。他在他的网页上对这个主题有很好的评价。

我领域的另一本很好的参考书是David Tannor的著作《量子力学：时间依赖的观点》。干杯。

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我可以建议使用时域有限差分（FDTD）方法。我什至在不久前写了一个教程，应该可以回答您的大多数问题：

JR Nagel，“应用于Schrödinger方程的有限差分时域算法的回顾和应用”，ACES杂志，第1卷。2009年2月1日，第24号

我有一些Matlab代码，可以在一维系统上很好地运行。如果您有使用FDTD进行电磁学的经验，那么它对于量子力学也非常有用。如果您有兴趣，我可以发布我的验证码。

基本上，它只是通过将导数分解成有限的差直接作用于波函数。它有点类似于Crank-Nicholson方案，但不完全相同。如果您从电磁波理论熟悉FDTD，那么在求解Schrodinger方程时FDTD将非常直观。

— 詹姆斯·内格尔
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最简单的有限差分法快速且易于理解，但时间上并不统一-因此概率不守恒。Crank-Nicholson-Crout对向前和向后有限差分方法取平均值，以生成混合的隐式/显式方法，该方法仍然非常易于理解和实现，并且在时间上是统一的。该站点很好地解释了该方法，提供了伪代码，并提供了相关的属性：

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ 注意：该链接的等式LHS缺少-符号，该符号在整个页面中传播。

不团结来自何处？

简而言之，解决TDSE归结为弄清楚如何处理

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

其中包含一个指数微分运算符。

应用前向有限差分可将微分算子转换为三对角矩阵（将实数转换为网格），并将指数转换为其泰勒级数的前两个项

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

离散化和线性化是引起非单一性的原因。（通过直接计算，您可以证明三对角矩阵不是单一的。）将前向有限差分与后向有限差分相结合即可得出近似值

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

恰好是单一的（再次可以通过直接计算来显示）。

感谢您及时的回复。您能否提供有关这两种方法的更多详细信息？它们如何工作，为什么？不团结来自何处？

— Emilio Pisanty 2014年

我很乐意提供更多细节，但是为了避免错过目标受众，了解以下各个背景领域的学历和经验将非常有用：微积分，微分方程，线性代数，量子力学以及数值方法（特别是有限差分法）。

请从标准物理和数学中假设您需要的所有内容（尽管参考更复杂的部分可能会有所帮助）。不过，我的数值方法有些生锈。

— Emilio Pisanty 2014年

(1 + \frac{i}{2} H t)^{- 1} (1 + \frac{i}{2} H t) ψ

$(1+\frac{i}{2}\,H\,t)^{-1}\,(1+\frac{i}{2}\,H\,t)\,\psi$

不，它与Kyle Kanos给出的算法相同。我只是用这种方式写的，以给出一种不同的视角。我希望更容易概念化-而他更容易实现。是的，您最终只是在求解一个三对角方程。AJP中有一篇很旧的（1967年）论文，我很难找到它对其进行了很好的描述：ergodic.ugr.es/cphys/lecciones/SCHROEDINGER/ajp.pdf 他们使用CN制作了8mm高斯波包的胶片环。散布各种电位。您仍然可以在许多大学物理演示库中找到这些胶片循环。

3

这里的一些答案和评论使TDSE与波动方程混淆不清。在某种程度上也许是语义问题。TDSE是经典非相对论哈密顿量的量化形式

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x) = E .

$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$

p \to i ℏ \partial_{x}, E \to i ℏ \partial_{t}, x \to x,

$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \partial_{x x} + V (x)] ψ = i ℏ \partial_{t} ψ,

$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$

^{2}

$^2$

\partial_{x x} ψ = \partial_{t t} ψ + \dots

$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$

{\vec{ψ}}^{n + 1} = (I + \frac{i τ}{2 ℏ} \tilde{H})^{- 1} (I - \frac{i τ}{2 ℏ} \tilde{H}) {\vec{ψ}}^{n}

$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$

I

${\cal I}$

H_{j k} = (\tilde{H})_{j k} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} [\frac{δ_{j + 1, k} + δ_{j - 1, k} - 2 δ_{j k}}{h^{2}}] + V_{j} δ_{j k} .

$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

ψ_{s} = e^{i k x} / \sqrt{L}

$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$

\int | ψ |^{2} d x

$\int |\psi|^2 dx$

c p = E

$cp=E$

c

$c$

i c ℏ \partial_{x} = i ℏ \partial_{t}

$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$ 即对流方程，该对流方程没有色散（如果与Lax-Wendroff方法正确集成），则在这种情况下，波包不会随时间扩散。量子类似物是无质量粒子狄拉克方程。

— 文森佐·菲奥伦蒂尼（Vincenzo Fiorentini）
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有简单的方法可以数值求解时间相关的薛定ding方程吗？

初学者

问题

随时间变化的潜力

备择方案

错误界限