给定一组有限的生成器，如何计算矩阵李代数的基础？

给定任意一组（数字）平方复矩阵，我对计算生成的实矩阵李代数感兴趣，称之为。也就是说，我想作为其中递归定义为和表示。 $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

该计算来自（量子）控制理论。

当前，我使用的是此处找到的方法，该方法仅通过重复的Lie括号进行搜索（即，形式为），并确保终止。但是我很想知道是否还有其他（更快）的方法。也许使用P.Hall基地？也许是递归算法？目前，我的默认语言是Matlab。 $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— 伊恩·欣克斯
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我猜您的原始发电机是埃尔米特发电机。这是真的？如果是这样，我想第一步将是比较生成器的本征空间，因为当本征空间不同时，换向器仅是非零的。

— Jack Poulson

@JackPoulson是的，A来自哈密顿量，歪斜的Hermitian也是如此（不是Hermitian，因为它们与Schroedinger方程中的i相乘）。我不确定我是否理解为什么这将是一个很好的第一步。计算换向器并检查它们是否非零会比摆弄本征空间快吗？

— 伊恩·欣克斯

对于单个换向器，可能是的。但是，当您开始考虑换向器的多个级别时，就会出现组合爆炸。我不知道算法，但是通常最好利用尽可能多的结构。我会仔细考虑您是否知道与发电机相关的其他属性。

— Jack Poulson

此链接描述了如何使用P. Hall基座执行此操作。

$A - p(A)$ $A$ $p$

— 埃里克·P。
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@EricP感谢您的链接，非常有用。我只在自由Lie代数的背景下看到过P.Hall的底数，但我对它没有把握，我很高兴知道我摆脱线性依赖换向的直觉是正确的。数值精度是我非常担心的事情。您的意思是说我应该将p（A）的规范与A的规范进行比较吗？而且这比将Ap（A）的范数与0进行比较会更稳定吗？

— 伊恩·欣克斯

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$