表示没有浮点数的爱森斯坦数

我有一个项目，需要使用二次字段， 具体是表格的数字$a + b \sqrt{-3}$ 与 $a,b \in \mathbb{Q}$。

例如，这是爱森斯坦整数中的质数：

我不想用鼠尾草。 我想编写自己的数据类型来合并numpy。PARI很有用-但它与Python不兼容。

• 这些对象的加法非常清楚 $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$$
• 乘法稍微复杂一点，但我们也可以对其进行硬编码 $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$$
• 我的数据类型还需要容纳除法。为简单起见，让我们倒数： $$\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$$

是否存在基于自然矩阵的方式来对这些操作进行编码，类似于 $\mathbb{C}$ 可以写成 $2 \times 2$ 矩阵？

$$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$$

也许我只是用上述三个操作将操作硬编码为三元组。有任何想法吗？

对于 $a+b\sqrt{-3}$ 您可以使用表示形式

$$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$$ 加法很明显。对于乘法，您可以验证 $$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$$ 保留了表示，因此我们有一个环同态。

取矩阵的行列式给出（平方）范数 $a^2+3b^2$，因此，倒数与预期的逆矩阵相对应。

您已经考虑过使用Triples，我假设您使用整数和一个公分母。该方法在矩阵表示中也可能有用。

更新：矩阵表示的通用方法是使用伴随矩阵。例如，假设您要代表$a+b\omega$ 而是在哪里 $\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$，因此 $\omega^2+\omega+1=0$。的伴随矩阵$\omega$ 是 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$，并且在所有与其相关的响铃操作中都表现出来 $\omega$本身。当然，$1$ 可以表示为 $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$; 因此，矩阵表示$a+b\omega$ 是

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$$ 您可能要验证这是一个环同构。另外，这很容易看到。对于乘法，现在对应的公式为 $$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$$

我猜你想对所有东西都使用精确的有理算术，因为浮点错误可能会使 $1/z$ 不在 $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ 即使 $z$是。为此，您可能需要看一下SymPy软件包。如果您不直接使用其有理数据类型，则可以为您自己编写的版本提供启发。然后，您可以在选择的任何有理数类型的基础上构建二次字段类型。

无论您如何表示字段的元素，都可以使用“魔术方法” 在Python中重载运算符。另请参见关于在Python中创建自己的数字类型的这篇SO文章。

我不认为会有更多的工作将二次字段的元素编码为2 x 2有理数矩阵或一对有理数，因为算术运算并不那么复杂。但是，我怀疑第二种方法会更快。