Thomas算法是求解对称对角占优稀疏三对角线性系统的最快方法吗

我想知道托马斯算法是否是解决算法复杂性（不寻找像LAPACK之类的实现包）方面最快的方法（可证明？）来解决对称对角占优的稀疏三对角线系统。我知道，托马斯算法和多重网格都为复杂度，但是多重网格的常数因子可能较小吗？在我看来，Multigrid可能不会更快，但我并不乐观。$O(n)$

注意：我正在考虑矩阵很大的情况。可以采用直接方法或迭代方法。

我相信，就确切的操作数而言，将迭代方法（多重网格）与直接/精确方法（Thomas）进行比较并没有真正的意义。IIRC，托马斯操作计数是用于任何三对角线系统。我唯一可以想象的是，多重网格可以想象的是，对于具有线性解的微不足道的情况，甚至在那时，评估每个级别的残差的成本都可以与Thomas的成本相提并论。$8N$

多重网格的有用性在于，它对于稀疏矩阵是通用的，而不仅限于三对角线系统。$O(N)$

简短的答案是，对于几乎所有情况，Thomas算法将比任何迭代方案都快。例外可能是应用非常简单的迭代方案（例如Gauss-Seidel）的单次迭代，但这极不可能给出可接受的解决方案。而且，这忽略了并行处理问题。

$\mathcal O(n)$$\mathcal O(n)$

$5N$$3N$$3N-2$$2N-2$

优化器可以向量化甚至在单核上的多网格循环。因此，尽管操作计数可以提供帮助，但我们也不要忘记，即使在串行世界中，处理器也具有矢量并行性，因此解决时间可能也不是我们根据成本分析预测的准确时间。