带有Fortran 95和LAPACK的倾斜Hermitian矩阵的矩阵指数

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我只是迷上了fortran 95，进行了一些量子力学模拟。老实说，我被Octave宠坏了，所以我认为矩阵求幂是理所当然的。给定大小为的（小，）个斜度-厄密矩阵，使用LAPACK解决此问题的最有效方法是什么？我没有使用LAPACK95包装器，只是直接调用LAPACK。 $n\leq 36$ $n\times n$

fortran lapack

— 字节
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您是否需要矩阵指数本身，还是需要将矩阵指数乘以向量？

— 保罗

@Paul：对不起，以前没有看到这个。不，我需要整个矩阵。

— qubyte

为什么有人会否决这个问题？如果您不赞成，请在评论中留下原因！也许可以通过这种方式改进这个问题。

— qubyte

我们依靠DGPADM，但是Jack Poulson表示，可能会有更好的方法。

— Mike Dunlavey 2012年

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斜-埃尔米特矩阵的矩阵指数很容易计算：

假设是您的斜Hermitian矩阵，那么是Hermitian，并且通过zheevd和朋友可以得到分解 $A$ $iA$

i A = U Λ U^{H},

$iA = U \Lambda U^H,$

其中是单一特征向量矩阵，是实数和对角线。然后，琐碎地 $U$ $\Lambda$

A = U (- i Λ) U^{H} .

$A = U (-i \Lambda) U^H.$

一旦有了和，就很容易计算 $U$ $\Lambda$

\exp (A) = \exp (U (- i Λ) U^{H}) = U \exp (- i Λ) U^{H}

$\exp(A)=\exp(U (-i\Lambda) U^H)=U \exp(-i\Lambda) U^H$

通过首先对特征值求幂，通过zcopy设置通过对每个具有指数特征值的列运行zscal来执行，最后将结果设置为 $B := U$ $B := B \exp(-i \Lambda)$

\exp (A) := B U^{H}

$\exp(A) := B U^H$

通过zgemm。

— 杰克·波尔森
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谢谢！我错过了一个明显的伎俩有与。您已将我介绍到所需的特定LAPACK子例程中，因此，特别感谢。我不会将其标记为正确的（想先对其进行测试）。

i

$i$

— qubyte

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不要着急我实际上已经实施过，所以我非常有信心:-)

— Jack Poulson

这将是我到处使用的那些神奇的代码之一。对于它的价值，我还将在注释行中表示感谢，这可能是其他人看不到的。

— qubyte

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@JackPoulson：先生，表现很好。这就是我选择一个不相信虚数（特征值除外）的专业的收获。

— Geoff Oxberry 2012年

1

@JackPoulson：效果很好。再次感谢您。特别是zscal位。我将大部分其余代码放在另一个子例程中，但这是我忽略的东西。

— qubyte

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由于我正在使用手机，因此无法轻松链接事物，以后将添加链接。您可能想要看一下论文“ 19种计算矩阵指数的可疑方法”，Fortran库EXPOKIT，Jitse Niesen的关于用于计算矩阵指数的Krylov方法的论文，以及Nick Higham最近关于矩阵指数的一些论文。需要矩阵指数和向量的乘积比单独使用矩阵指数的乘积更常见，在这里，Krylov方法会很有帮助。对于您所描述的较小，密集的矩阵，Padé方法可能会更好，但是当在指数方法中用于ODE的数值积分时，使用Krylov方法取得了很多成功。

— 杰夫·奥克斯伯里
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谢谢。我知道有19种可疑的方式，也有可能是冒用的，但是与我一起工作的一些人是在行业中，因此出于版权原因，我想避免这样做。我热衷于使用LAPACK / BLAS实施它，因为我已经链接到这些库了。一件事我确实需要矩阵指数本身。我正在研究量子过程层析成像的一种变体，该过程由矩阵体现。稍后，我将与这个矩阵指数结合使用积分器，这才变得非常有趣！

— qubyte

1

复杂的本征解方法在数学上是正确的，但是它做的工作比必要的多。不幸的是，我将要描述的改进方法无法通过LAPACK调用实现。

看看RC Ward和LJ Gray，ACM Trans。数学。柔软的。4，278，（1978）。这描述了TOMS算法530中可用的软件，您可以从netlib下载该软件。这描述了如何将斜对称矩阵分解为 $X$

X = U D U^{T}

$X = U D U^T$

其中是实正交，是实斜对称和块对角线。对角子块是或。由于它是块对角线，因此可以分别对每个子块取幂。的块是零，和，所以这些都是微不足道的。在的子块与实现 $U$ $D$ $2\times 2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $\exp(0)=1$ $2\times 2$

\exp (\begin{matrix} 0 & - t \\ t & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{matrix})

$\exp \begin{pmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$

然后，所需的指数矩阵为

\exp (X) = U \exp (D) U^{T}

$\exp(X) = U \exp(D) U^T$

我在量子化学代码中使用这种方法已有几十年了，而且所涉及的任何软件都从未遇到过任何问题。

— 罗恩·谢泼德
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您好，@ Ron Shepard，欢迎来到Computational Exchange SE。您可以编辑第二和第三个方程式吗？他们有点难以理解。

— nicoguaro

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如果您只需要将矩阵指数乘以向量，则此fortran子例程可能对您有用。它计算：

$(e^A)v$

其中v是向量，A是规则的厄米矩阵。它是EXPOKIT库中的子例程

否则，您可能需要考虑此子例程，该子例程适用于任何常规复数矩阵A。

— 保罗
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那看起来不像是对Fortran库的引用。

— 杰夫·奥克斯贝里

@GeoffOxberry：我重写了它以包含fortran子例程

— Paul

@Paul：恐怕不好。我正在做的是过程层析成像的全矩阵变体。另外偏斜-埃尔米托！

— qubyte

非常感谢您重写了您的答案，但是根据编辑记录，您似乎完全改变了答案，选择了我按时间顺序排列的较早答案的元素，并添加了链接。

— Geoff Oxberry 2012年

@GeoffOxberry：相反...我的结果与您无关，但是您在我有机会重写我的答案之前发布了您的信息：）

— Paul