与Adams-Bashforth算法相比，使用Adams-Moulton有哪些相对优势？

我正在计算两个空间维度和时间上两个耦合的PDE的系统。由于函数评估很昂贵，因此我想使用多步方法（使用Runge-Kutta 4-5初始化）。

使用五个先前的函数求值的Adams-Bashforth方法的全局误差为（在的情况下 $O(h^5)$ $s=5$ 在下面引用的Wikipedia文章下），并且每步需要一个函数求值（每个PDE）。

另一方面，Adams-Moulton方法每个步骤需要进行两次功能评估：一项用于预测步骤，另一项用于校正步骤。再一次，如果使用五个函数求值，则全局误差为。（ $O(h^5)$ $s=4$ Wikipedia文章中的）

那么，在Adams-Bashforth上使用Adams-Moulton的背后原因是什么？它具有相同数量级的错误，功能评估的次数是两倍。从直觉上讲，预测校正方法应该是有利的，但是有人可以对此进行定量解释吗？

pde algorithms finite-element error-estimation

— 西蒙科学
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这个问题是错的。您指的是Adams-Moulton，这是一个完全隐式的方法，但是随后您实际讨论了使用预测器-校正器方法。他们是不一样的东西可言。

— David Ketcheson 2014年

@David我引用的Adams-Moulton方法（有时称为Adams-Bashforth-Moulton）是一种预测器-校正器方法。预测器步骤是使用Adams-Bashforth完成的。然后，将预测结果用于Adams-Moulton步骤中，以使其明确。如果不清楚，我可以为您提供更多详细信息。

— SimonSciComp 2014年

很明显。但这不是亚当斯·穆尔顿的意思。您需要使用正确的名称。

— David Ketcheson 2014年

Adams-Moulton方法明显更稳定。教我时使用的类比区别与外推法和内插法相同。插值在数值上相对安全。如果您碰巧具有渐近线或其他奇特特征，则外推法可能会爆炸。

例如，解决颂歌

且 $y'(t) = -y(t)$ $y(0) = 1$

随着时间步长的减少，使用三阶Adams-Bashforth方法实际上变得更加不稳定。通过添加校正器步骤，可以避免这种不稳定性。此处显示了两种方法的稳定性区域图：

在此处输入图片说明

$\lambda$ $h$ $\lambda$ $\lambda h$

— 戈德里克·先知
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λ

$\lambda$

h

$h$

@SimonSciComp我在图表下方添加了更多说明。让我知道是否还有其他不清楚的地方。

— Godric Seer 2014年

λ h

$\lambda h$

ℜ (λ h) < 0

$\Re(\lambda h)<0$

λ

$\lambda$