测试矩阵是否为正半定数

我有一个对称矩阵列表${\cal L}$，我需要检查它的正半定性（即它们的特征值非负）。

上面的评论暗示可以通过计算各自的特征值并检查它们是否为非负值来做到这一点（也许必须注意舍入误差）。

在我的场景中，计算特征值非常昂贵，但是我注意到我正在使用的库对正定性进行了相当快速的测试（也就是说，如果矩阵的特征值严格为正。）

因此，想法是，给定一个矩阵$B \in {\cal L}$，一个测试如果$B + \epsilon I$是正定的。如果不是，则$B$不是正半定值，否则可以计算的特征值$B$以确保它确实是正半定值。

我的问题是：

如果给出了对正定性的有效检验，是否存在更直接有效的方法来测试矩阵是否为正半定性？

您对“正半定”或“正定”的工作定义是什么？在浮点算法中，您必须为此指定某种公差。

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

最大$-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

不幸的是，计算矩阵的所有特征值是相当耗时的。另一种常用的方法是，如果对称矩阵在浮点运算中具有Cholesky分解，则认为该对称矩阵是正定的。计算Cholesky因子分解比计算特征值快一个数量级。您可以通过向矩阵添加一小部分同一性，将其扩展为正半定性。同样，存在扩展问题。一种快速的方法是对矩阵进行对称缩放，以使对角元素为1.0，并在计算Cholesky因子分解之前对对角线添加。 $\epsilon$

不过，您应该对此谨慎，因为该方法存在一些问题。例如，在某些情况下，和在具有浮点Cholesky因式分解的意义上是肯定的，但没有Cholesky因式分解。因此，“浮点Cholesky可分解正定矩阵”的集合不是凸的！ B （A + B ）/$A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr，TH，“ 确定性的测试矩阵和满足需要的应用示例，” AIAA指导，控制和动力学杂志，第1卷。1987年9月10日，第5期，第503-506页。

• Kerr，TH，“ 关于正半定矩阵测试的错误陈述 ”，AIAA指导，控制和动力学杂志，第1卷。13月3日，第571-572页，5月-6月。1990年。（使用反例在1970年代和1980年代的Navigation＆Target Tracking软件中发生）

• Kerr，TH，“ 矩阵正定性/半确定性的计算测试中的谬误 ” ，《IEEE航空航天和电子系统学报》，第1卷。1990年3月，第26卷，第2期，第415-421页。 ]