线性程序中涉及

16

假设

\begin{aligned} min A & v e c (U) \\ subject to U_{i, j} \leq max {U_{i, k}, U_{k, j}}, i, j, k = 1, \dots, n \end{aligned}

$\begin{align*} \min A &\mathrm{vec}(U) \\ &\text{subject to } U_{i,j} \leq \max\{U_{i,k}, U_{k,j}\}, \quad i,j,k = 1, \ldots, n \end{align*}$

其中是一个对称的矩阵，而将整形为具有个条目的一维向量。 $U$ $n\times n$ $\mathrm{vec}(U)$ $U$ $n^2$

上述程序中给我带来麻烦的部分是。（限制非负对称矩阵的解似乎很简单。） $\max\{⋅,⋅\}$

在此先感谢您的帮助或参考！

optimization linear-programming

— N21
source

为什么不能同时添加两个约束？

— 阿隆·艾玛迪亚

1

@AronAhmadia：他不能添加两个约束，因为这将相当于

所有

。我认为对此问题没有LP的重新表述，但是可能会进行MILP的表述，即使这可能会使解决起来更加昂贵。

U_{i, j} \leq min {U_{i, k}, U_{k, j}}

$U_{i,j} \leq \min\{U_{i,k}, U_{k,j}\}$

i, j, k

$i, j, k$

— Geoff Oxberry '02

@ N21：您希望

对您要解决的问题有多大？

n

$n$

— Geoff Oxberry '02

@Geoff：谢谢！我最终还是希望能有大

，但现在我最关心得到了初步的解决方案与

不到，说100，甚至10

n

$n$

n

$n$

— N21

感谢您澄清@GeoffOxberry，在发布之前我没有完全想到。

— 阿隆·艾玛迪亚

14

编辑：这次，当我更加清醒时，让我们再次尝试这种解释。

公式存在三个大问题（按严重性顺序）：

对于明显是平滑，凸形或线性的问题，没有明显的重新表述。
这不顺利。
它不一定是凸的。

没有明显的平滑/凸/线性重构

$\max$ $\min$

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

U_{i j} \leq U_{i k}, \forall k

$U_{ij} \leq U_{ik}, \quad \forall k$

U_{i j} \leq U_{k j}, \forall k .

$U_{ij} \leq U_{kj}, \quad \forall k.$

min

$\min$

2 n

$2n$

$\max$ $\max$ $n^2$ $\max$ $2n$

$\max$

不光滑

$\max$

不平滑是一个巨大的问题，因为：

它立即使您的问题变为非线性
大多数非线性规划求解器假设两次连续微分函数

$\max$

可能的不凸性

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

U_{i j} - max_{k} {U_{i k}, U_{k j}} \leq 0, \forall i, j, k .

$U_{ij} - \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} \leq 0, \quad \forall i,j,k.$

这些功能是凹的。

$-U_{ij}$ $\max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

$\mathbf{g}$

解决问题的选项

$U_{i j} \leq max_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k$ $U_{ij} \leq \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k$ $U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k,$ $U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k,$
像使用非平稳程序的捆绑求解器一样，尝试自己的配方。我没有很多这类求解器的经验。（我的一个同事在研究中使用了它们。）它们可能很慢，因为它们不能使用派生信息。（我认为他们改用次梯度或Clarke的广义梯度信息。）使用捆绑求解器解决大型问题实例的可能性也不大。

— 杰夫·奥克斯伯里
source

1

杰夫，好东西；这触及了关键点，并提供了许多建设性的见解和建议。我投票了。但是您似乎将非凸性视为与事实不同的东西，正如您所说的那样，“在我所知的最小化问题中，没有关于最大约束的标准重构”。但是实际上，前者正是后者无法实现的原因。非凸约束不能在线性编程中表达-句号！这是一个非凸问题，必须将其重新表述为混合整数问题或应用其他启发式方法。

— 迈克尔·格兰特

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(x) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

1

x \leq max {y, z}

$x \le \max\{y,z\}$

(x, y, z)

$(x,y,z)$

1

max {y, z}

$\max\{y,z\}$

3

$-\infty$

U = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) .

$U=\left(\begin{matrix} 1&\cdots &1\\ \vdots & & \vdots\\1&\cdots&1\end{matrix}\right).$

A \cdot vec (U)

$A\cdot\mbox{vec}(U)$

U

$U$

t

$t$

\pm U

$\pm U$

min_{V} (A \cdot vec (V)) \leq m i n_{t} (A \cdot vec (t U)) = - \infty

$\min_V(A\cdot\mbox{vec}(V)) \le min_{t}(A\cdot \mbox{vec}(tU))=-\infty$

— 死气
source

U

$U$

- \infty

$-\infty$

U

$U$

\leq 0

$\le 0$

2 tr ({\hat{A}}^{*} U) = ‖ \hat{A} - U ‖^{2} - ‖ \hat{A} ‖^{2} - ‖ U ‖^{2}

$2\mbox{tr}(\hat{A}^\ast U)=\|\hat{A}-U\|^2-\|\hat{A}\|^2-\|U\|^2$

2

$f \le \max \{ f_1, f_2,...,f_n \}$ $n$ $b_i \in \{0,1\}$ $1 \le i \le n$ $M$ $f$

$f \le f_i + (1-b_i) M, \forall i$

$\sum_i b_i = 1$

$M := max_i f_i - min_i f_i$ $f_i$

— 凯文
source

1

x_{i} <= max (a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$x_i <= \max(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})$

x_{i} <= s_{i}

$x_i <= s_i$

s_{i} >= a_{i 1}

$s_i >= a_{i1}$

s_{i} >= a_{i 2}

$s_i >= a_{i2}$

. . .

$...$

s_{i} >= a_{i n}

$s_i >= a_{in}$

c * max (s_{i} - max (a_{i}), 0)

$c*\max(s_i-\max(a_i), 0)$

s_{i} - max (a_{i})

$s_i-\max(a_i)$

c

$c$

$s_i>=\max(a_i)$ $x_i=s_i$ $s_i-\max(a_i)$ 以解决无法实施的问题。）

— 沃尔夫冈·邦格斯
source

是个好主意。假设您的证明通过了，那么问题就变成了将非线性和非平滑性从约束移到目标中，这两者在公式化中仍然是不受欢迎的品质。

— Geoff Oxberry 2012年

a_{i j}

$a_{ij}$

(x_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

(x_{i}, s_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,s_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

1

我找不到评论按钮...

$log(x)<5$

如果它是凸集，则可以对目标函数执行梯度下降，使用Dykstra's_projection_algorithm之类的东西来投影回到约束空间。

— 提姆
source

投票赞成关于凹函数的评论；我应该多考虑一下我的解释。尽管无法确定是否可以将这些算法应用于不平滑的约束条件，但有可能投影到可行的集合上。

— Geoff Oxberry 2012年

x^{2} + y^{2} < 5

$x^2+y^2<5$

如果非凸问题具有NP个可能的解决方案，那么它们仅是NP问题。NP代表“不确定性多项式”。我完全不知道你在说什么。其次，我提到了凹度，因为线性函数是凹凸的。函数不是凸的。仅仅因为函数不平滑且分段线性并不立即排除存在LP重新制定的可能性。

— Geoff Oxberry 2012年

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

抱歉，必须简短说明一下，所以我将NP用于非多项式，将P用于多项式。关键是非凸优化并不总是对NP困难。如果可能的解决方案的数量比多项式更糟，这只是NP问题。很抱歉给您带来混乱：)您对将其重新设置为线性是正确的。您似乎在说“因此，没有办法将您的程序重新格式化为线性程序”，因为它不是凸性的，我只是在指出它与凸性无关，而是线性。

— 蒂姆（Tim）

0

$-\infty$ $0$

$U \ge 0$ $A$ $n$ $-\infty$ $0$

$a \le b \le c$ $c \le \max(a,b)$ $b=c$ $i,j,k$

$U_{ij} < U_{jk} = U_{ik}$
$U_{ik} < U_{jk} = U_{ij}$
$U_{jk} < U_{ik} = U_{ij}$
$U_{ij} = U_{jk} = U_{ik}$

$t$ $G(t)$ $U_{ij}=t$ $U_{ij}=U_{j k}=t$ $\ell$ $U_{j \ell}=t$ $U_{i\ell}=U_{k\ell}=t$ $G(t)$

— ps
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