Runge-Kutta和重用数据点

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我正在尝试实现四阶Runge-Kutta方法以解决Python中的一阶ODE即。我了解该方法的工作原理，但是我正在尝试编写一种有效的算法，以最大程度地减少计算的次数因为这样做成本很高。有人告诉我，可以重复使用先前在逐步增加但无法看到方法时计算出的数据点。有谁知道该怎么做还是不可能？ $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ $f(x,y)$

ode python explicit-methods

— 乔什克
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研究“记忆”。您可以轻松地“包装”您的文件，f(x,y)以便记忆结果。

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@ S.Lott：术语是“记忆”，没有“ r”。

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@DietrichEpp：完全正确。Mac OS X具有一个新的，激进的拼写检查器，完全没有任何技术知识。

这是用四阶方法模拟的二阶系统吗？

以下是大量替代解决方案：google.com/…其中任何一种都可能会有所帮助。

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如果您要从出发yp_1 = f(x_1, y_1)，yp_2 = f(x_1+h, y_2)则需要中间点：

K1 = f(x_1+h/2, y_1+h/2*yp_1)
K2 = f(x_1+h/2, y_1+h/2*K1)
K3 = f(x_1+h, y_1+h*K2)

x_2 = x_1 + h
y_2 = y_1 + h/6*(yp_1+2*K1+2*K2+K3)
yp_2 = f(x_2, y_2)

通常，没有任何中间点可用于下一步。因为 K1<> K2和K3<> yp_2。

— ja72
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$N$ $N$ $N=4$ $N$

如果要重用过去的函数求值，则需要使用诸如Adams-Bashforth之类的多步方法。

无论如何，您都要为每种策略付费。单步方法需要最多的功能评估，但是多步方法具有最大的内存需求。

编辑：更正。我的陈述仅对显式方法成立。对于隐式方法，情况不太清楚，因为阶段数不会直接转换为函数求值的数目。

— 里德·阿切森
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我应该更具体一些。有关更多详细信息，请参见Butcher：Butcher，JC和J. Wiley。常微分方程的数值方法。Wiley在线图书馆，2008年。ODE解决方案的极佳参考，还为RK方法提供了许多不存在的证明（例如，不存在仅使用4个函数求值的5级Runge-Kutta方法。）

— Reid.Atcheson 2012年

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为完整起见：您的主张不适用于“通用Runge-Kutta方法”，而仅适用于显式 Runge-Kutta方法。

— David Ketcheson

哎呀！您是对的，对此感到抱歉。

— Reid.Atcheson，2012年

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我知道您正在使用Runge-Kutta方法来求解ODE，但是如果您想重用f（x，y）的旧计算值，则可能需要考虑多步方法，例如Adams-Bashforth或Adams-Moulton方法。当然，这些方法的缺点是您不能非常轻松地使用自适应时间步长。

— 保罗
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请检查“嵌入式”方法：此类RK方法的目的是要使用两种具有不同顺序的方法，其中高阶方法使用与低阶方法相同的函数求值。这允许非常有效的错误估计。请参见第165页，以及Hairer，Norsett和Wanner的“解决常微分方程I：非刚性问题”。典型示例是7（8）级的Fehlberg方法。

另外，如果您要在PYTHON中求解ODE，请查看assimulo。我一直在玩这个包好几个星期了，我很高兴。

— GertVdE
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