我见过一些较旧的书说，指定订单的显式Runge-Kutta方法的最小阶段数对于订单是未知的 $\geq 9$。这仍然是真的吗？

有哪些库可以自动处理高阶Runge-Kutta方法？

界线

仍然是这样。在Butcher的书的第196页中，其内容如下：在1985年的一篇论文中，Butcher表明，您需要11个阶段才能获得8阶，这很明显。对于10级订单，Hairer派生了17个阶段的方法族，但尚不清楚是否可以做得更好。在Hairer，Norsett和Wanner卷的第II.5节中提供了相同的信息。我。后面的参考还介绍了一些用于开发高阶对（直到8阶）的技术。

任何订单所需的最小阶段数都有一个上限，因为您可以通过外推法构造它们。这已经有很长时间了。请参阅我最近的这篇文章进行解释。但是，此界限在顺序上是二次的，当然是相当悲观的。 下面讨论的nodepy软件可以为这些方法以及任何阶数的延迟校正方法（即Runge-Kutta方法）生成精确的系数。

我相信@Etienne的正确说法是，手工构建的最高阶方法归功于Terry Feagin。关于他的其他评论，本文包含约9（8）对：

JH Verner，低阶高阶显式Runge-Kutta对，应用数值数学，第22卷，第1-3期，1996年11月，第345-357页

这是订单条件（累计）数量的表 $N$ 每个订单所需 $p$; 该表比文献中提供的表更远，并且是使用nodepy生成的：

p | N
-----
1 | 1
2 | 2
3 | 4
4 | 8
5 | 17
6 | 37
7 | 85
8 | 200
9 | 486
10| 1205
11| 3047
12| 7813
13| 20300
14| 53264

软件

对于非常高阶的方法，无法手动处理阶数条件的数量和复杂性。一些符号包（至少是Mathematica）具有生成Runge-Kutta订单条件的功能。可能还有其他软件包，但是我知道以下内容（我都写了）：

• nodepy：一个Python包，可以为顺序条件生成任意顺序的符号表达式和代码。它还包括用于检查这些条件，计算错误系数等的Python代码。
• RK-Opt：一种MATLAB软件包，除其他外，它可以找到具有针对几种不同目的而优化的系数的高阶Runge-Kutta方法。目前，它无法处理9阶显式RK（对于阶数为1的方法，它将升至8阶；对于阶数较高的方法，它将升至10阶）。如果您对此感兴趣，则可以很容易地添加9阶（或更高）的条件。

关于订单条件的另一个有趣的注释（在如此高的级别上变得很重要）是有两种导出它们的方法，它们为您提供了不同的（但在总体上是等效的）条件：一种是由于Butcher，另一种是由于Albrecht。

@DavidKetcheson的答案很重要：您总是可以使用外推法构建足够高阶的方法，这是一个非常悲观的界限，并且您总是可以做得更好，所有好的方法都是手工得出的（在某些计算机的帮助下）代数工具），没有下界是已知的，而最高阶的方法则归因于Feagin。给出一些评论，我想通过讨论该领域当前的最新状态来完善答案。

如果您想要一份RK表格概要，则可以在此Julia代码中找到一个。他们来自该论文的引用位于tableau构造函数的文档字符串中。DifferentialEquations.jl的开发人员文档列出了所有可用的表，您可以在此处看到所有这些表都已使用Travis和AppVeyor连续集成套件进行了测试，以确保不仅满足订单条件，而且实际上满足它们。达到要求的收敛（验证测试）。从这些中，您可以看到有：

• 5阶9法
• 6阶10法
• 2命令12方法
• 1阶14法

（我可以找到已发表的内容）。再次，所有都是手工得出的。

收敛测试表明，某些推导的执行精度不够高，无法适用于64位以上的数字（它们的注释如下）。因此，需要注意的是一个有趣的怪癖：在这些高阶上，您通常只会得到“误差较大”的系数。x ”满足阶数条件的，但是当使用任意精度算术时，您实际上可以检测到这些界限。因此，执行系数的精度确实很重要，因此应该选择它来覆盖要测试的精度（//当然是使用）。

如果您需要一堆稳定性图，则可以plot(tableau)使用Plots.jl配方。可以在Peter Stone的网站上找到很多这样的笔记，这些笔记很多（请点击下面的命令10方案，您将获得很多PDF）。在开发DifferentialEquations.jl时，我创建了一组表格，以系统地通过它们解决测试问题/查看分析指标以查看哪些应该包含在主库中。我在这里做了一些简短的笔记。如你看到的从主库中包含的算法，我发现值得使用的是Verner和Feagin方法。Verner 9阶方法是最高阶方法，其插值也与该阶次匹配。这是可以识别的：Feagin方法没有匹配的插值法（尽管您可以引导Hermite，但这确实效率不高）。

由于它们都是通过非常高效的实现来实现的，因此您可以自己试用它们，并查看不同功能实际上有多重要。这是一个Jupyter笔记本，其中显示了使用的Feagin方法。注意，收敛图确实会1e-48出错。当您确实需要非常低的公差时，高阶方法仅比低阶方法更有效。您可以在DiffEqBenchmarks.jl中找到一些使用其中一些基准的基准，尽管使用它们通常是9阶Verner方法，并且通常表明基准不在这种高阶有效的范围内。

因此，如果您想尝试一些高级方法并使用它，我发现RK-Opt是派生某些高级方法的好工具（如@DavidKetcheson所述），DifferentialEquations.jl具有所有已发布的方法（我认为？ ）实施，以便您可以轻松地针对它们进行测试/基准测试。但是，除非您找到可以放弃的假设，否则从我的测试中我无法找到能胜过Verner（6-9级）和Feagin（10+级）方法的产品。但是，YMMV很高兴看到更多有关此方面的研究。