哪个迭代线性求解器收敛于正半定矩阵？

我想知道哪个经典线性解算器（例如高斯-塞德尔，雅可比，SOR）被保证收敛的问题，其中为正半定，当然 $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

（注意是半确定的，不是确定的） $A$

linear-algebra iterative-method convergence linear-solver

— 奥拉蒙多
source

您是指正半定矩阵吗？

— meawoppl 2012年

用这种矩阵求解线性系统有什么用？如果我没记错的话，如果您的正半定矩阵不是奇异的，那么它就是正定。

— faleichik 2012年

是的，我敢肯定。我必须为实际证明刷新我的记忆，但是按照您的意思-如果计算

的分母为零，则意味着

为零，这意味着其中的所有“搜索方向” A不是奇异的，已经用尽，剩余的残差不在A的范围内（因此这是“最佳”解决方案）。在这种情况下，实际上

，这将不会发生作为残留只是在首次使用前将达到零

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

设置

。然后

。CG将收敛由于

对于所有

。换句话说，你永远不会离开

对于这

是正定的。

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath 2012年

@faleichik：在很多情况下，量子力学中的密度矩阵降为正半定数。

— Deathbreath 2012年

Answers:

共轭梯度算法适用于半定性问题并产生最小范数解。

— 阿诺德·纽迈耶
source

谢谢。关于“古老的”求解器的任何想法，例如SOR Gauss-Seidel等

— olamundo 2012年

它们几乎不再使用了，我不知道它们的行为。

— 阿诺德·诺伊迈耶

需要澄清的是：对于半定矩阵，CG最不能以香草形式工作；如果B在A的图像中，则在理论上可能可行；但这不可能在数字实践中很好地结束。非常相似的基于krylov的MINRES在这里是一个更好的选择。同样，仅举一个例子，这些“古代”求解器被广泛用于多网格类型求解器。

— Eelco Hoogendoorn

$b$ $A$

雅各比（Jacobi）并非如此。自从谁想在现代计算机硬件上打扰高斯-塞德尔以来，这真是可耻的？如果您的问题可以分解为对角线主导的块，那么您很幸运；您可以以递增的高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）方式将Jacobi更新应用于这些块，并在此类半确定性问题中获得两者的最佳选择。

— Eelco Hoogendoorn
source