Remez算法

Remez算法是众所周知的迭代例程，可以通过极小极大范数中的多项式近似函数。但是，正如Nick Trefethen [1]所说：

这些[实现]中的大多数都可以追溯到很多年前，实际上，它们中的大多数并不能解决上面提出的一般最佳逼近问题，而是可以解决涉及离散变量或数字滤波的变体。可以找到其他一些流通的计算机程序，但是总的来说，目前似乎没有广泛使用的程序可以计算最佳近似值。

也可以通过应用最小二乘或凸优化来计算minimax解，例如，使用Matlab和应用于[-1，1]的Runge函数的免费CVX工具箱：

m = 101; n = 11;            % 101 points, polynomial of degree 10
xi = linspace(-1, 1, m);    % equidistant points in [-1, 1]
ri = 1 ./ (1+(5*xi).^2);    % Runge function

tic                         % p is the polynomial of degree (n-1)
cvx_begin                   % minimize the distance in all points
    variable p(n);
    minimize( max(abs(polyval(p, xi) - ri)) );
cvx_end
toc                         % 0.17 sec for Matlab, CVX and SeDuMi

Chebyshev多项式的逼近的极小范数为，0.1090而这种方法在这里达到最小值0.0654，该值与Matlab chebfun工具箱中的Remez算法所计算的值相同。

如果您可以使用优化求解器更快，更准确地计算minimax解，那么应用更复杂的Remez算法是否有任何优势？是否有任何报告/文章比较这两种方法在一些困难的问题或测试用例上的表现？

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[1] R. Pachon和LN Trefethen。BIT数值数学（2008）第1卷。46。

“正确”的答案在很大程度上取决于您需要近似的对象。您是否确实需要某些误差范围的最佳近似值？还是只是一个很好的近似值？还是在minmax方面只是一个很好的近似值？

尼克· 特雷菲森（Nick Trefethen）最近举了一个很好的例子，其中雷米兹逼近法是个坏主意，因为它使最大误差最小化，而与整个时间间隔内的平均误差无关，这可能不是您想要的。当然，最大误差可能很大，但这对于平滑函数是有界的。

更新资料

在下面的评论中进行讨论之后，我下载了CVX工具箱，并与Chebfun Remez算法进行了直接比较（免责声明：我是Chebfun开发团队的成员）：

% Do the convex optimization bit.
m = 101; n = 11;            % 101 points, polynomial of degree 10
xi = linspace(-1, 1, m);    % equidistant points in [-1, 1]
ri = 1 ./ (1+(5*xi).^2);    % Runge function

tic                         % p is the polynomial of degree (n-1)
cvx_begin                   % minimize the distance in all points
    variable p(n);
    minimize( max(abs(polyval(p, xi) - ri)) );
cvx_end
toc_or = toc                % 0.17 sec for Matlab, CVX and SeDuMi

% Extract a Chebfun from the result
x = chebfun( [-1,1] );
A = [ chebfun(1) , x ];
for k=3:n, A(:,k) = A(:,k-1).*x; end
or = A * flipud(p)

% Make a chebfun of Runge's function
f = chebfun( @(x) 1 ./ ( 1 + 25*x.^2 ) )

% Get the best approximation using Remez
tic, cr = remez( f , 10 ); toc_cr = toc

% Get the maximum error in each case
fprintf( 'maximum error of convex optimization: %e (%f s)\n' , norm( f - or , inf ) , toc_or );
fprintf( 'maximum error of chebfun remez: %e (%f s)\n' , norm( f - cr , inf ) , toc_cr );

% Plot the two error curves
plot( [ f - cr , f - or ] );
legend( 'chebfun remez' , 'convex optimization' );

经过大量输出，我在装有Matlab 2012a的笔记本电脑上获得了CVX 1.22版和Chebfun的最新SVN快照：

maximum error of convex optimization: 6.665479e-02 (0.138933 s)
maximum error of chebfun remez: 6.592293e-02 (0.309443 s)

请注意，f用于测量误差的Chebfun 精确到15位数字。因此，Chebfun的Remez花费了两倍的时间，但是得到了一个较小的全局错误。应当指出，CVX使用编译后的代码进行优化，而Chebfun是100％本机Matlab。最小误差0.00654是“在网格上”的最小误差，在该网格之外，误差最大为0.00659。增加网格大小来m = 1001我得到

maximum error of convex optimization: 6.594361e-02 (0.272887 s)
maximum error of chebfun remez: 6.592293e-02 (0.319717 s)

即几乎相同的速度，但从第四位十进制数字开始，离散优化仍然较差。最后，将网格尺寸进一步增加到m = 10001我得到

maximum error of convex optimization: 6.592300e-02 (5.177657 s)
maximum error of chebfun remez: 6.592293e-02 (0.312316 s)

即，离散优化现在慢了十倍以上，并且到第六位为止还很差。

最重要的是，Remez将为您提供全球最佳的结果。尽管离散模拟可能在小型电网上速度很快，但不会给出正确的结果。