计算实稀疏矩阵的特征多项式

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给定一个通用的稀疏矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ 与~~m << n~~（更正： $m \ll n^2$ ）非零元素（通常为）。是通用的，因为它没有特定的属性（例如，正定性），并且没有结构（例如，条带化）。 $m \in {\cal O}(n)$ $A$

有什么好的数值方法可以计算的特征多项式或最小多项式？ $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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听起来好像您想计算所有特征值。为什么要多项式，以及如何表达呢？单项式的条件非常恶劣，因此系数可能无法在有限精度算法中稳定地计算出来。

— 杰德·布朗

@JedBrown更加沉思。在回答这个问题时，我提供了一种代数方法来求逆矩阵，这在计算机代数中是众所周知的（例如，交换环和场上的矩阵）。我想知道是否可以将其用于数值矩阵。请注意，出于这个问题的目的，我对寻找特征/最小多项式而不是逆的数值方法感兴趣。

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如果 $O(n^3)$ 复杂性不是一个障碍，那么您可能想看看Danilevskii方法。在俄罗斯文学中，有关线性数值代数的知识很广，但是英语的信息却很少。您可以从此链接开始。

这个想法很简单：通过“类似高斯消像”的相似变换将矩阵逐渐简化为Frobenius范式。如果找不到信息，我可以使算法更详细。

— 法雷基克
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您可以使用数值方法（例如QR因式分解或幂方法）及其实数（逆幂等）来计算通用矩阵的特征值。之后，可以通过分解将特征多项式计算为：（λ-λ1）（λ-λ2）...（λ-λn）= 0，其中λi是计算出的特征值。这是有关功率和QR方法的简短演示：

— Chemeng
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顺便说一句：您是否想说您有 $m \ll O(n^2)$ 参赛作品？如果确实 $m \ll O(n)$ 那么大多数行和列将完全为空，并且特征多项式实际上可能不是度数 $n$ 但是程度 $O(m)$ 。

— 沃尔夫冈·邦格斯
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行动。不，我想说

m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$ 即

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$ 。对于那个很抱歉。