关于五阶Runge-Kutta方法的稳定性区域的令人困惑的评论

我在论文中碰到一个令人费解的评论

PJ van der Houwen，偏微分方程Runge-Kutta方法的发展，应用。嗯 数学。1996年20：261

范德侯文在第264页的第8ff行中写道：

“对于泰勒多项式这意味着假想稳定性间隔为空 ”$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

其中，泰勒多项式是指Runge-Kutta方法的稳定性多项式（在x = 0处截断展开），p是阶数（请参阅第263页）。我认为我误会了一些东西，因为据我所知，五阶Runge-Kutta方法没有虚假的稳定区间。据我所知，假想极限约为3.4左右。$\exp(x)$$x=0$

我有什么误会

van der Houwen的陈述是正确的，但这不是关于所有五阶Runge-Kutta方法的陈述。他所指的“泰勒多项式”（正如您所知道的）只是度数的多项式，近似于exp （z ）到p阶。$p$$\exp(z)$$p$：

对于五阶多项式，事实证明对于小ϵ > 1，因此以P 5（z ）作为其稳定多项式的方法的稳定区域在虚轴上不包括原点的任何邻域。确切地说，就是范德豪文所说的。$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

您最可能产生混淆的原因是“五阶Runge-Kutta方法”的含义。有（无限）许多五阶Runge-Kutta方法，但是最著名的方法没有作为其稳定性多项式。为什么？ 如$P_5(z)$约翰·布彻（John Butcher）著名地证明的那样，五阶Runge-Kutta方法必须至少具有六个阶段。通常，具有六个（或更多）阶段的方法的稳定性多项式将具有六（或更多）阶数。例如，此Wikipedia页面上列出的每种五阶方法都使用六个阶段，并且具有多项式为6的稳定性多项式。

五阶方法是否可以将作为其稳定性多项式？是; 五阶显式外推法（如我的本文所综述的著名方法）可以做到这一点。还要注意，对于线性ODE，具有稳定多项式P 5（z ）的p级Runge-Kutta方法将精确到5阶，而对于非线性ODE则不是。$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

最后，在确定高阶Runge-Kutta方法的假想稳定性区间的范围时，很容易出错。这是因为这种方法的稳定区域的边界非常接近虚轴。因此，舍入误差会导致错误的结论。仅应使用精确的计算（当然，在这些情况下，出于实际目的，稳定区域边界的相关性肯定会受到争议）。

例如，以下是Fehlberg 5（4）对中的五阶方法的稳定性区域图：

假想的稳定间隔是空的，但是在这种分辨率下您无法从图片中分辨出来！请注意，该区域显然包括虚轴的一部分，但围绕原点没有间隔。

同时，这是Dormand-Prince 5（4）对中的五阶方法的图：

$[-1,1]$。

为了精确地描述虚轴附近的稳定区域边界 $P_p(z)$（这非常令人着迷！），请参阅我最近的论文。

您可能还对NodePy软件包感兴趣，该软件包产生了上面的图，可用于准确确定诸如方法的假想稳定性区间之类的内容（免责声明：我创建了NodePy）。