评估具有许多独立周期且无闭合形式的振荡积分

我知道的大多数关于振荡积分的方法都处理以下形式的积分

如果我有以下形式的整数

与情况不同 $e^{i\omega x}$，多项式积分 $\int x^a \prod g_k(x)$ 未知，所以我无法构造一组多项式插值 $f(x)$ 并精确地整合插值

我确切的问题是 $g_k$是贝塞尔函数 $J_0(\omega_k x)$和 $f(x)=x^\alpha$，集成区域为 $[0,\infty)$。我现在使用的方法是总结区间内的积分贡献$[x_{k-1},x_k]$ 根之间直到一些截止 $M$，然后将渐近展开式用于 $g_k(x)$ 大 $x$。该算法的时间复杂度在$n$ 因为它涉及扩大产品 $g_1\ldots g_n$，每个都有一个数字 $r$ 渐近项，给 $r^n$总条款；修剪项太小并不能减少运行时间，不足以使大型操作可行$n$。

启发式非严格的答案，建议和参考资料均受到欢迎。

我研究了有固定相点的简单积分。我发现两种方法效果很好。

一种是引入依赖于相位函数的指数阻尼因子，如果您愿意，这是一种人工粘度。

在以下位置描述了另一种技术（统计阶段有多个点）：

Tuck，EO，Collins，JL和Wells，WH，“关于船波及其频谱”，《船舶研究杂志》，第11-21页，1971年。

该方法将指数衰减因子应用于被积物，从而使其远离stat迅速振荡。相点，但使被积分原样不动。

那是我的主意！

只要您对被积物的振荡部分的根（或极值）具有准确的值，朗曼方法（如我在此答案中所述））仍然适用。您所要做的就是使用您喜欢的正交方法评估一堆积分，并在根之间有间隔，并将这些积分视为某些交替级数的项。然后，您可以使用任何数量的收敛加速方法（Euler，Levin，Weniger等）来“求和”该交替序列。

例如，在此math.SE答案中，我评估了一个无限积分，其振荡部分是两个贝塞尔函数的乘积。